接線の方程式と法線の方程式の求め方(微分)

数学
・$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dy}(y^2)\cdot \frac{dy}{dx}=2y\cdot \frac{dy}{dx}$
・微分の基本的な公式

接線の方程式の解き方

曲線$\,y=f(x)\,$上の点$\,P(x_{1}\,,\quad y_{1})\,$における接線方程式の求め方は、

$$y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1})$$

で求めることができます。

接線の傾きについて

点$\,P(x_{1}\,,\quad y_{1})\,$における接線の傾きは、$f'(x_{1})\,$で求めます。これは、関数$\,y=f(x)\,$の$\,x_{1}\,$の位置で、微分することを表しています。

微分は定義は、

$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

なので、xの増加量分のyの増加量になっています。つまり、傾きです。

接線の方程式について

次に、$y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1})\,$のマイナス$\,x_{1}\,,\,y_{1}\,$について説明します。

$y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1})\,$は、

$$\textcolor{red}{y=ax+b}$$

と同じことを表していて、書き方が少し異なっているだけです。

接線の傾きが$\,f'(x_{1})=a_{1}\,$だと求められた段階で、

$$y-y_{1}=a_{1}(x-x_{1})$$

とすると、点$\,P(x_{1}\,,\quad y_{1})\,$の時の接線の方程式を一発で求められますが、

別にいつも通りの方法で解くことができます。いつも通りの方法とは、$y=ax+b\,$に代入して、

$$\begin{align}
y_{1}&=a_{1}x_{1}+b\\
b&=y_{1}-a_{1}x_{1}
\end{align}$$

よって、$b\,$を求めることができたので、接線の方程式は、

$$y=a_{1}x+y_{1}-a_{1}x_{1}$$

となります。この方法でも求められます。

$y=a_{1}x+y_{1}-a_{1}x_{1}\,$は式変形すれば、$y-y_{1}=a_{1}(x-x_{1})\,$になります。

例題

グラフ上の点が決まっている一番簡単な問題です。

関数$\,y=\frac{1}{4}x^2\,$のグラフ上の点$\,\left(2,1\right)\,$における接線の方程式を求めよ。

接線の傾き

まず、$f(x)=\frac{1}{4}x^2\,$とすると、

$$f'(x)=\frac{1}{2}x$$

となるので、$x=2\,$を代入して、

$$f'(2)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$$

接線の方程式を求める

よって、求める点$\,\left(2,1\right)\,$の接線の方程式は、

$$\begin{align}
y-1&=1\cdot(x-2)\\
y&=x-1
\end{align}$$

$$y=x-1$$
別の解き方

$y=ax+b\,$に$\,a=1\,$と点$\,\left(2,1\right)\,$を代入して、
$$\begin{align} 1&=1\cdot 2+b\\ b&=-1 \end{align}$$ よって、 $$y=x-1$$

例題2

接線の傾きが決まっている問題で、グラフ上の点の位置は決まっていない問題です。

関数$\,y=\sqrt{x}\,$の接線で、傾きが$\,\frac{1}{4}\,$になる方程式を求めよ。

接点の座標が示されていない場合は、文字を使って接点の座標をあらかじめ置いて解きます。

接点の座標を$\textcolor{red}{\,(a\,,\,\sqrt{a})\,}$とします。

接線の傾き

まず、$f(x)=\sqrt{x}\,$とすると、

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

となるので、$x=a\,$を代入して、

$$f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}$$

ここで、傾きは$\,\frac{1}{4}\,$なので、$\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{4}\,$より、

$$a=4$$

したがって、接点の座標は、$\textcolor{red}{(4\,,\,2)\,}$である。

接線の方程式を求める

よって、求める点$\,\left(4,2\right)\,$の接線の方程式は、

$$\begin{align}
y-2&=\frac{1}{4}(x-4)\\
y&=\frac{1}{4}x+1
\end{align}$$

$$y=\frac{1}{4}x+1$$

例題3

接線の傾きが決まっている問題で、グラフ上の点の位置は決まっていない問題です。

原点を通り、関数$\,y=log\,x\,$に接する直線の方程式を求めよ。

接点の座標が示されていない場合は、文字を使って接点の座標をあらかじめ置いて解きます。

接点の座標を$\textcolor{red}{\,(a\,,\,log\,a)\,}$とします。

接線の傾き

まず、$f(x)=log\,x\,$とすると、

$$f'(x)=\frac{1}{x}$$

となるので、$x=a\,$を代入して、

$$f'(a)=\frac{1}{a}$$

よって、傾きが$\,\frac{1}{a}\,$として、接線の方程式を文字を使って表します。

接線の方程式を求める

よって、点$\,\left(a\,,\,log\,a\right)\,$の接線の方程式を文字を使って表すと、

$$\begin{align}
y-log\,a&=\frac{1}{a}(x-a)\\
y&=\frac{1}{a}x-1+log\,a \quad\cdots ①
\end{align}$$

この式が原点$\,(0,0)\,$を通るので、

$$\begin{align}
0&=\frac{1}{a}\cdot 0-1+log\,a\\
a&=e
\end{align}$$

となるので、接線の方程式である①に$\,a=e\,$を代入すると、

$$\begin{align}
y&=\frac{1}{e}x-1+log\,e\\
y&=\frac{1}{e}x
\end{align}$$

$$y=\frac{1}{e}x$$

接線の例題(難しめ)

例題4(楕円の接線)

楕円$\,x^2+4y^2=8\,$上の点$\,(2,1)\,$における接線の方程式を求めよ。

接線の傾きは、$f(x)\,$を微分した$\,f'(x)\,$で表されますが、他の表し方も知っておけばこの問題も容易に解くことができます。

$$\begin{align} y&=f(x)\\ &\quad↓xで微分\\ \frac{dy}{dx}&=f'(x) \end{align}$$

つまり、微分の他の書き方である$\,\frac{dy}{dx}\,$も接線の傾きを表していることになります。

よって、

接線の傾き

$x^2+4y^2=8\,$の両辺を$\,x\,$で微分すると、

$$\begin{align}
&\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(4y^2)=0\\
&2x+8y\cdot \frac{dy}{dx}=0\\
&\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{4y}
\end{align}$$

となるので、接点$\,(2,1)\,$を代入して、

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{4\cdot 1}=-\frac{1}{2}$$

接線の傾きは、$-\frac{1}{2}\,$と分かったので、

接線の方程式を求める

接線の傾きは、$-\frac{1}{2}\,$であり、接点が$\,(2,1)\,$であることを踏まえて、よって、求める点$\,(2,1)\,$の接線の方程式は、

$$\begin{align}
y-1&=-\frac{1}{2}(x-2)\\
y&=-\frac{1}{2}x+2
\end{align}$$

$$y=-\frac{1}{2}x+2$$

例題5(共通接線)

2つの曲線$\,y=x^2+2\,,\,y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+1\,$の両方に接する接線の方程式を求めよ。

まずは、$f(x)=x^2+2\,$と$\,g(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^2+1\,$とします。

また、$f(x)\,$上の接点を$\,(s\,,\,s^2+2)\,$として、$g(x)\,$上の接点を$\,(t\,,\,-\frac{1}{2}(t^2-1)+1)\,$としします。

$f(x)\,$における接線の方程式

$f(x)=x^2+2\,$より、$f'(x)=2x\,$なので$\,(s\,,\,s^2+2)\,$での接線の傾きは、

$$f'(s)=2s$$

となるので、接線の方程式は、

$$\begin{align}
&y-s^2-2=2s(x-s)\\
&y=2sx-s^2+2
\end{align}$$

となります。

$g(x)\,$における接線の方程式

$f(x)\,$と同じいように$\,g(x)\,$での接線を求めると、

$$\begin{align}
y&+\frac{1}{2}(t-1)^2-1=(-t+1)(x-t)\\
y&=(-t+1)x+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}
\end{align}$$

となります。

接線の方程式を求める

$f(x)\,$に接する接線と、$g(x)\,$に接する接線の方程式が同じになるので、

$f(x):y=\textcolor{red}{2s}x\textcolor{blue}{-s^2+2}$

$g(x):y=\textcolor{red}{(-t+1)}x\textcolor{blue}{+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}}$

この2つを係数を比較して

$①\quad\textcolor{red}{2s=-t+1}\\
②\textcolor{blue}{\quad-s^2+2=\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}}$

この連立方程式を解きます。

①から、$t=-2s+1\,$となり、これを②に代入することで、

$$\begin{align}
3s^2-2s-1&=0\\
(3s+1)(s-1)&=0\\
s&=-\frac{1}{3}\,,\,1
\end{align}$$

となるので、$s=-\frac{1}{3}\,,\,1\,$をそれぞれ接線の方程式$\,y=2sx-s^2+2\,$に代入することで、

$y=2x+1\,$と$\,y=-\frac{2}{3}x+\frac{17}{9}\,$が答えとして出てきます。

$$y=2x+1$$ $$y=-\frac{2}{3}x+\frac{17}{9}$$

例題6(共通接線)

2つの曲線$\,y=ax^2\,$と$\,y=log\,x\,$が共有点を持ち、なおかつその点において共通の接線を持っているとき、定数$\,a\,$の値を求めよ。

$f(x)=ax^2\,,\quad g(x)=log\,x\,$とします。よって、

$$\begin{align}
f'(x)&=2ax\\
g'(x)&=\frac{1}{x}
\end{align}$$

共有点になる点であり、接点の$x$座標を$\,t\,$とすると、$f(x)\,$上の接点は$\,(t\,,\,at^2)\,$となり、$g(x)\,$上の接点は$\,(t\,,\,log\,t)\,$となります。

ここで、接点は一致することと、接線が共通なので傾きが一緒になることから、

$①\quad at^2=log\,t\\
②\quad 2at=\frac{1}{t}$

②より、$at^2=\frac{1}{2}\quad \cdots②’$となるので、これを➀に代入して、

$$\begin{align}
\frac{1}{2}&=log\,t\\
t&=e^{\frac{1}{2}}
\end{align}$$

よって、②$’$に代入して、

$$\begin{align}
a(e^{\frac{1}{2}})^2&=\frac{1}{2}\\
a&=\frac{1}{2e}
\end{align}$$

$$a=\frac{1}{2e}$$

法線の方程式

曲線$\,y=f(x)\,$上の点$\,P(x_{1}\,,\quad y_{1})\,$における接線方程式の求め方は、

$$y-y_{1}=-\frac{1}{f'(x_{1})}(x-x_{1})$$

で求めることができます。

法線とは、関数における接線に対して、直交している直線のことです。

接線の求め方とほとんど同じですが、傾きが$\,-\frac{1}{f'(x_{1})}\,$になります。

$y=a_{1}x+b_{1}\,$と$\,y=a_{2}x+b_{2}\,$が、直角に交わっていれば、 $$a_{1}\times a_{2}=-1$$ が成り立ちます。

練習問題に法線の問題を用意しています。

練習問題

次の曲線上の指定された点における接線と法線を求めよ。 $$y=e^{2x}\quad (0,1)$$
$f(x)=e^{2x}\,$とおくと、
$$f'(x)=2e^{2x}$$ 接点が$\,(0,1)\,$なので、
接線の傾きは、$f'(0)=2e^0=2$
法線の傾きは、$-\frac{1}{f'(x)}=-\frac{1}{2}$
よって、求める接線の方程式は、
$$\begin{align} y-1&=2(x-0)\\ y&=2x+1\end{align}$$ また、求める法線の方程式は、
$$\begin{align} y-1&=-\frac{1}{2}(x-0)\\ y&=-\frac{1}{2}x+1\end{align}$$

接線:$y=2x+1$ 
法線:$y=-\frac{1}{2}x+1$

   
次の曲線上の指定された点における接線と法線を求めよ。 $$4x^2-y^2=7\quad (2,3)$$
$4x^2-y^2=7\,$の両辺を$x$で微分すると、
$$\begin{align} \frac{d}{dx}(4x^2)-\frac{d}{dx}(y^2)&=0\\ 8x-2y\cdot \frac{dy}{dx}&=0\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{4x}{y} \end{align}$$ $(2,3)\,$を代入すると、
$$\frac{dy}{dx}=\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}$$ 接線の傾きは、$\frac{8}{3}$
法線の傾きは、$-\frac{3}{8}$
よって、求める接線の方程式は、
$$\begin{align} y-3&=\frac{8}{3}(x-2)\\ y&=\frac{8}{3}x-\frac{7}{3}\end{align}$$ また、求める法線の方程式は、
$$\begin{align} y-3&=-\frac{3}{8}(x-2)\\ y&=-\frac{3}{8}x+\frac{15}{4}\end{align}$$

接線:$y=\frac{8}{3}x-\frac{7}{3}$ 
法線:$y=-\frac{3}{8}x+\frac{15}{4}$

   

まとめ

接線の方程式:$y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1})$
法線の方程式:$y-y_{1}=-\frac{1}{f'(x_{1})}(x-x_{1})$

接点の座標が明記されていなければ、文字を使って接点$\,(t,f(t))\,$を表す必要がある。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

ロゴ

コメント

タイトルとURLをコピーしました