【詳しく】微分方程式の解き方、変数変換で同次形にして解く

数学
Lが定数なら、
$\frac{d(t+L)}{dt}=\frac{dt}{dt}+\frac{dL}{dt}=1+0=1$

線形変形をして解く微分方程式の形

今回取り扱う微分方程式は、下のような形のものです。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a’x+b’y+c’}$$

(a,b,c,a’,b’,c’はすべて定数で、それぞれは何ら関係性はありません。)

一般解の解き方は、とにかく同次形にするという方法で解きます。

【詳しく】同次形微分方程式の解き方(例題あり)
$\displaystyle \int_{}^{}\frac{f'(x)}{f(z)}dz=log\left|f(x)\right|$変数分離形を知っているとなお理解しやすくなると思いますが見なくても理解できます。...

同次形にする方法

同次形にするにはcとc’が邪魔なので、それらを無くすように計算します。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a’x+b’y+c’}$$

において、まず、xとyを別の文字で置き換えます。

$$x=s(x)+K\\
y=t(y)+L$$

KとLは定数になるようにします。

これを右辺の式に代入します。

$$\frac{ax+by+c}{a’x+b’y+c’}=\frac{as+bt+(aK+bL+c)}{a’s+b’t+(a’K+b’L+c’)}$$

このとき、

$$aK+bL+c=0\\
a’K+b’L+c’=0$$

となるようにします。連立方程式を解くのと同じです。(後で、例題を使って詳しく説明します。)

今度は、最初の式の左辺と右辺の両方に代入します。

$$\begin{align}
\frac{dy}{dx}&=\frac{ax+by+c}{a’x+b’y+c’}\\\\
\frac{d(t+L)}{d(s+L)}&=\frac{as+bt+(aK+bL+c)}{a’s+b’t+(a’K+b’L+c’)}\\\\
\frac{dt\frac{d(t+L)}{dt}}{ds\frac{d(s+L)}{ds}}&=\frac{as+bt}{a’s+b’t}\\\\
\frac{dt}{ds}&=\frac{a+b\frac{t}{s}}{a’+b’\frac{t}{s}}
\end{align}$$

よって、同次形に変形することができました。

後は、同次形の解き方に従って一般解を解きます。

【詳しく】同次形微分方程式の解き方(例題あり)
$\displaystyle \int_{}^{}\frac{f'(x)}{f(z)}dz=log\left|f(x)\right|$変数分離形を知っているとなお理解しやすくなると思いますが見なくても理解できます。...

同次形の解き方も例題に載っています。

【具体例】同次形の一般解

(例1)次の式の一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{9x+y-3}{x+y+5}$$

まずは、

$$x=s+K\\
y=t+L$$

とします。このとき、KとLは定数で、

$$\left\{\array{9K+L-3&=0\\K+L+5&=0}\right.$$

を満たすものとします。

$$\left\{\array{9K+L-3&=0\\K+L+5&=0}\right.$$
2つの式を満たす定数K,Lを求めます。
上の式-下の式より、
$$\begin{align} 8K-8&=0\\ K&=1 \end{align}$$
よって、
$$L=-6$$
存在しましたね。つまりは、xとyは、実際には、
$$x=s+1\\ y=t-6$$ となっていることになります。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{9x+y-3}{x+y+5}$$

この式のxとyに代入する。

$$\begin{align}
\frac{d(s+1)}{d(t-6)}&=\frac{9s+t}{s+t}\\\\
\frac{ds}{dt}&=\frac{9+\frac{t}{s}}{1+\frac{t}{s}}
\end{align}$$

ここまで変形出来たら、同次形になっているので、あとは同次形を解くように一般解を求める。

まず、$z=\frac{t}{s}\,$と置き、この式を変形して微分します。。

$$t=sz$$

$$\frac{dt}{ds}=z+s\frac{dz}{ds}$$

よって、同次形になっている式は下のように変形できるので、そこから一般解を求めます。

$$\begin{align}
\frac{ds}{dt}&=\frac{9+\frac{t}{s}}{1+\frac{t}{s}}\\\\
z+s\frac{dz}{ds}&=\frac{9+z}{1+z}\\\\
\frac{1+z}{9-z^2}dz&=\frac{1}{s}ds
\end{align}$$

ここで、部分分数分解をして積分します。

$$\begin{align}
\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3-z}-\frac{1}{3+z}\right)dz&=\frac{1}{s}ds\\\\
\displaystyle \int_{}^{}\left(\frac{1}{3+z}-\frac{2}{3-z}\right)dz&=\displaystyle \int_{}^{}\frac{-3}{s}ds\\\\
log\left|3+z\right|+2log\left|3-z\right|&=-3log\left|s\right|+C\\\\
log\left|(3+z)(3-z)^2s^3\right|&=C
\end{align}$$

ここで、$z→\frac{t}{s}\,$に戻します。

$$log\left|(3s+t)(3s-t)^2\right|=C$$

$log\,$を外す。

$$(3s+t)(3s-t)^2=C$$

$s,t→x,y\,$に戻します。

$x=s+1\quad,\quad y=t-6\,$より、

$$\begin{align}
(3s+t)(3s-t)^2&=C\\\\
(3x+y+3)(3x-y-9)^2&=C
\end{align}$$

(例1の答え)
一般解:$(3x+y+3)(3x-y-9)^2=C$

練習問題

次の式の一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{4x+y-5}{x+y-2}$$
$x=s+K\quad\,\quad y=t+L\,$と置く。このとき、KとLは定数で、

$$\left\{\array{4K+L-5&=0\\K+L-2&=0}\right.$$
を満たす定数とするので、連立方程式を解いて、$K=1\quad,\quad L=1$となる。

問題の式にxとyを代入する。

$$\begin{align} \frac{d(t+1)}{d(s+1)}&=\frac{4s+t}{s+t}\\\\ \frac{dt}{ds}&=\frac{4+\frac{t}{s}}{1+\frac{t}{s}} \end{align}$$
同次形にすることができたので、$z=\frac{t}{s}\,$として解く。、

$$\begin{align} z+s\frac{dz}{ds}&=\frac{4+z}{1+z}\\\\ \left(\frac{3}{z-2}+\frac{1}{z+2}\right)dz&=\frac{-4}{s}ds\\\\ log\left|(z-2)^3(z+2)s^4\right|&=C \end{align}$$
$log$を外し、$z→s,t→x,y\,$に戻します。

$$(y-2x+1)^3(y+2x-3)=C$$
一般解:$(y-2x+1)^3(y+2x-3)=C$
   

まとめ

$$\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a’x+b’y+c’}$$ この形の微分方程式は、同次形に変形して解きます。変形するためにcとc’がなくなるようにxとyを設定します。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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