【超わかる】【図あり】二項定理の係数を求める問題をわかりやすく説明

数学
${}_nC_m$ 組み合わせ

組み合わせ(C)と順列(P)について誰でも分かるようまとめています。

【たった1つ覚えるのみ】確率が得意になる、PとCの違い、実際は使わなくて解ける
特になし数学記号について$P\cdots$順列の計算で用いる$C\cdots$組み合わせの計算で用いる数学記号ではありますが、自分は確率などの問題を解くときにほとんど使いませんし、このページでは、P...

「確率や場合の数を求める問題はたった1つのことを意識すればすべて解ける。」といった内容になっています。

関連ページの紹介はこれくらいにして、二項定理の係数を求める問題の説明をします。

解く前に知っておくこと

$(x+y+z)^{10}$  [$x^2y^3z^5$]
式を展開した、[ ]の項の係数を求めよ。

二項定理の係数を求める問題はこんな問題です。あとで解きます。

大事な事前情報

$$(a+b+c)^n$$のようなカッコで囲まれたときの累乗の計算で見落としがちな点の説明から。

例えば、下のような計算式はみんなが当たり前のように計算すると思います。


$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$


右辺を見てください。すべての項は、アルファベットが2つあります。

$a^2$は$a$が2つ。$ab$は$a$と$b$が1つずつの合計2つ。$b^2$は$b$が2つ。

では、他の例も見てみます。


$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$


今度は、$a^3$は$a$が3つ。$a^2b$は$a$が2つと$b$が1つの合計3つ。$ab^2$は$a$が1つと$b$が2つの合計3つ。$b^3$は$b$が3つ。

以上より、2乗の式であればすべての項のアルファベットは合計数が2つになり、3乗の式であれば3つになります。(例外はあります。)

よって、n乗の式であれば、すべての項のアルファベットは合計数がnつになります。

当然と言えば当然?

しかし、ここで重要なのは、その計算方法にあります。

カッコ1つにアルファベット1つを選ぶ

まず、$(a+b)^2$や、$(a+b)^3$はこのように書き換えることができます。


$$(a+b)(a+b)$$

$$(a+b)(a+b)(a+b)$$


そして計算するわけですが、今まで公式を使ったりして計算していた方法の考え方を変えます。

「カッコ1つからアルファベットを1つずつ取り出して、かけ算してすべてを足す。」

このようにやっても同じ答えが出てきます。

(実際、こっちが本来のやり方に近いですが、答えが同じになることを分かってくれれば大丈夫です。)

それよりも、この方法で計算すれば当然、

n乗の式であれば、すべての項のアルファベットは合計数がnつ

になります。カッコの数がn個ですからね。

二項定理で係数を求める問題

$(x+y+z)^{10}$  [$x^2y^3z^5$]
式を展開した、[ ]の項の係数を求めよ。

問題を解いていきます。

カッコだと分かりにくいので、カッコ10個を箱10個に置き換えます。

事前情報で説明しましたが累乗の計算方法は、カッコ1つにアルファベット1つと考えるので、箱にアルファベットを入れると考えていきます。


$$[x^2y^3z^5]$$


問題となっているのはこれなので、10個の箱に、xを2個、yを3個、zを5個入れることになります。

まずは、xから考えましょう。

「10個の箱のうち2つにxを入れる」

と何通りになるかを考えます。

このように組み合わせの問題同様${}_{10}C_2$で求められます。

組み合わせに関しては、詳しく説明しているのでこちらをご覧ください。(自分自身、PとかCとか嫌いなのでそういうの無しに誰でも分かるよう説明しています。)

【たった1つ覚えるのみ】確率が得意になる、PとCの違い、実際は使わなくて解ける
特になし数学記号について$P\cdots$順列の計算で用いる$C\cdots$組み合わせの計算で用いる数学記号ではありますが、自分は確率などの問題を解くときにほとんど使いませんし、このページでは、P...

次に、yについて考えます。

「既に10個中2つの箱にはxが入っているので、残り8個の中の3個にyを入れる」

とこのように考えます。

xと同じように組み合わせの問題と考え、${}_8C_3$で求めます。

そして、最後にzについて考えますが、

「余った箱全てにzを入れると考えれば1通りになります。」

よって、10個の箱の内訳が「x:2個 , y:3個 , z:5個」となる組み合わせの数は、


$$45\times56\times1=2520$$


よって、項が、$x^2y^3z^5$になるのは2520通りあるので、全部足したら、$2520x^2y^3z^5$となります。

$2520$
$(x+y)^2$ [$xy$]

の場合、カッコ1つでアルファベット1つ選ぶとすると、(x)(y)の順番と(y)(x)の順番の2つがあるので、係数が2になる。

練習問題

$(x-y+2z)^{10}$  [$x^2y^3z^5$]
式を展開した、[ ]の項の係数を求めよ。
10個の箱に、xが2つ、−yが3つ、2zが5つになるようにする。

「xを10個中2つに入れる」
$${}_{10}C_2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$$

「yをxを入れた箱以外の8個中3つに入れる」
$${}_8C_3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$$

「zを残り5個中5つに入れる」
$$1通り$$

合計で、$45\times 56\times 1=2520$通り

ここで、考えないといけないことは、yが−yであり、zが2zであることです。

[$x^2y^3z^5$]なので、

$$(-y)^3=-y^3$$ $$(2z)^5=32z^5$$

1個分の$x^2y^3z^5$の項の係数は、$-32x^2y^3z^5$となり、これが2520通りあるので、

$$-32x^2y^3z^5\times 2520=80640x^2y^3z^5$$
$80640$
   
$(x+y+3)^{8}$  [$x^2y^3$]
式を展開した、[ ]の項の係数を求めよ。
8個の箱に、xが2つ、yが3つになるようにする。しかし、箱が3つ余るので、余った箱には3を入れる。

「xを8個中2つに入れる」
$${}_{8}C_2=\frac{8\times 7}{2\times 1}=28$$

「yをxを入れた箱以外の6個中3つに入れる」
$${}_6C_3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$$

「3を残り3個中3つに入れる」
$$1通り$$

合計で、$28\times 20\times 1=560$通り

ここで、考えないといけないことは、3が常に3つ含まれることです。なので、

$$(3)^3=27$$

1個分の$x^2y^3$の項の係数は、$27x^2y^3$となり、これが560通りあるので、

$$27x^2y^3\times 560=15120x^2y^3$$
$15120$
   
$(x+4)^{11}$  [$x^6$]
式を展開した、[ ]の項の係数を求めよ。
11個の箱に、xが6つになるようにする。しかし、箱が5つ余るので、余った箱には4を入れる。

「xを11個中6つに入れる」
$${}_{11}C_6=\frac{11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=462$$

「4を残り5個中5つに入れる」
$$1通り$$

合計で、$462\times 1=462$通り

ここで、考えないといけないことは、4が常に5つ含まれることです。なので、

$$(4)^5=1024$$

1個分の$x^6$の項の係数は、$1024x^6$となり、これが462通りあるので、

$$1024x^6\times 462=473088x^6$$
$473088$
   

まとめ

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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