【三角関数】和積と積和の公式、導出方法と覚え方(練習問題あり)

数学

三角関数においてめったに使うことはないが、いざ使うときになるとなかなかに厄介な和積関和の公式を導出する。

三角関数の加法定理
$sin(α±β)=sin\,α\,cos\,β±cos\,α\,sin\,β\\\\ cos(α±β)=cos\,α\,cos\,β\mp sin\,α\,sin\,β$

積和の公式

$ ①\quad sin\,α\,cos\,β=\frac{1}{2}\left\{sin(α+β)+sin(α-β)\right\}\\\\ ②\quad cos\,α\,sin\,β=\frac{1}{2}\left\{sin(α+β)-sin(α-β)\right\}\\\\ ③\quad cos\,α\,cos\,β=\frac{1}{2}\left\{cos(α+β)+cos(α-β)\right\}\\\\ ④\quad sin\,α\,sin\,β=-\frac{1}{2}\left\{cos(α+β)-cos(α-β)\right\} $

公式の導出

加法定理を使って求めます。

①の公式について、


$\array{
&sin(α+β)\quad&= &\quad sin\,α\,cos\,β &+ &cos\,α\,sin\,β\\
\textcolor{blue}{+})&sin(α-β)\quad&= &\quad sin\,α\,cos\,β &- &cos\,α\,sin\,β\\ \hline
&\textcolor{red}{sin(α+β)+sin(α-β)}\quad&\textcolor{red}{=} &\textcolor{red}{\,\,2sin\,α\,cos\,β} &\quad &\quad
}$


赤い部分を式変形することで、


$$sin\,α\,cos\,β=\frac{1}{2}\left\{sin(α+β)+sin(α-β)\right\}$$


となり、①の積和の公式が得られる。

他の3つの場合も、導出方法は大体同じで、加法定理の右式に含まれているいずれか選び、その部分が残るように足し算もしくは引き算をします。

他3つの場合を知りたい方はクリック。

$②\quad cos\,α\,sin\,β=\frac{1}{2}\left\{sin(α+β)-sin(α-β)\right\}$ の導出。

$cos\,α\,sin\,β$が含まれている加法定理は、

$$sin(α±β)=sin\,α\,cos\,β±\textcolor{red}{cos\,α\,sin\,β}$$

なので、赤い部分が残るように計算する。


$\array{
&sin(α+β)\quad&= &\quad sin\,α\,cos\,β &+ &cos\,α\,sin\,β\\
\textcolor{blue}{-})&sin(α-β)\quad&= &\quad sin\,α\,cos\,β &- &cos\,α\,sin\,β\\ \hline
&\textcolor{red}{sin(α+β)-sin(α-β)}\quad&\textcolor{red}{=} &\quad &\quad &\textcolor{red}{2cos\,α\,sin\,β}
}$


式変形して、

$$cos\,α\,sin\,β=\frac{1}{2}\left\{sin(α+β)-sin(α-β)\right\}$$


$③\quad cos\,α\,cos\,β=\frac{1}{2}\left\{cos(α+β)+cos(α-β)\right\}$の導出。

$cos\,α\,cos\,β$が含まれている加法定理は、

$$cos(α±β)=\textcolor{red}{cos\,α\,cos\,β}\mp sin\,α\,sin\,β$$

なので、赤い部分が残るように計算する。


$\array{
&cos(α+β)\quad&= &\quad cos\,α\,cos\,β &- &sin\,α\,sin\,β\\
\textcolor{blue}{+})&cos(α-β)\quad&= &\quad cos\,α\,cos\,β &+ &sin\,α\,sin\,β\\ \hline
&\textcolor{red}{cos(α+β)+cos(α-β)}\quad&\textcolor{red}{=} &\textcolor{red}{\,\,2cos\,α\,cos\,β} &\quad &\quad
}$


式変形して、

$$cos\,α\,cos\,β=\frac{1}{2}\left\{cos(α+β)+cos(α-β)\right\}$$


$④\quad sin\,α\,sin\,β=-\frac{1}{2}\left\{cos(α+β)-cos(α-β)\right\}$の導出。

$sin\,α\,sin\,β$が含まれている加法定理は、

$$sin(α±β)=sin\,α\,cos\,β±\textcolor{red}{cos\,α\,sin\,β}$$

なので、赤い部分が残るように計算する。


$\array{
&cos(α+β)\quad&= &\quad cos\,α\,cos\,β &- &sin\,α\,sin\,β\\
\textcolor{blue}{+})&cos(α-β)\quad&= &\quad cos\,α\,cos\,β &+ &sin\,α\,sin\,β\\ \hline
&\textcolor{red}{cos(α+β)-cos(α-β)}\quad&\textcolor{red}{=} &\quad &\quad &\textcolor{red}{-2sin\,α\,sin\,β}
}$


式変形して、

$$sin\,α\,sin\,β=-\frac{1}{2}\left\{cos(α+β)-cos(α-β)\right\}$$


   

例題

$cos15°cos45°$の値を求めよ。

$$\begin{align}
cos45°cos15°&=\frac{1}{2}\left\{cos(45°+15°)+cos(45°-15°)\right\}\\\\
&=\frac{1}{2}(cos60°+cos30°)\\\\
&=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})\\\\
&=\frac{1+\sqrt{3}}{4}
\end{align}$$


公式を使って解くとこんな感じです。

$③\quad cos\,α\,cos\,β=\frac{1}{2}\left\{cos(α+β)+cos(α-β)\right\}$を使って解いています。

$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$

和積の公式

$ ①\quad sin\,A+sin\,B=2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})\\\\ ②\quad sin\,A-sin\,B=2cos(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})\\\\ ③\quad cos\,A+cos\,B=2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})\\\\ ④\quad cos\,A-cos\,B=-2sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2}) $

公式の導出

積和の公式を導出した時に、筆算の部分で赤い部分があったと思います。

その部分を使用します。まずは、その赤い部分を持ってきます。


$$\textcolor{red}{sin(α+β)+sin(α-β)=2sin\,α\,cos\,β}$$


ここで、

$$A=α+β\\
B=α-β$$

とします。このとき、連立方程式を解くことで、

$$α=\frac{A+B}{2}\\
β=\frac{A-B}{2}$$

となり、以上の4つの式を代入して、


$$sin\,A+sin\,B=2sin\,\frac{A+B}{2}\,cos\,\frac{A-B}{2}$$


となり、①の和積の公式が得られる。

他の3つの場合も、加法定理で出した式に上の4つの$α,β→A,B$に変形する式を代入することで求めることができます。

なぜこんなことをするかは例題を見ると分かると思います。

他の3つの導出方法を見たい方はクリック。

$②\quad sin\,A-sin\,B=2cos(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$の導出。

加法定理より以下の式を作る。(積和のクリックのとこで出し方を説明しています。)

$$\textcolor{red}{sin(α+β)-sin(α-β)=2cos\,α\,sin\,β}$$

$$A=α+β\\
B=α-β\\
α=\frac{A+B}{2}\\
β=\frac{A-B}{2}$$

4つの式を代入して、


$$sin\,A-sin\,B=2cos(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$$


$③\quad cos\,A+cos\,B=2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$の導出。

加法定理より以下の式を作る。(積和のクリックのとこで出し方を説明しています。)

$$\textcolor{red}{cos(α+β)+cos(α-β)=2cos\,α\,cos\,β}$$

$$A=α+β\\
B=α-β\\
α=\frac{A+B}{2}\\
β=\frac{A-B}{2}$$

4つの式を代入して、


$$cos\,A+cos\,B=2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$$


$④\quad cos\,A-cos\,B=-2sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$の導出。

加法定理より以下の式を作る。(積和のクリックのとこで出し方を説明しています。)

$$\textcolor{red}{cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin\,α\,sin\,β}$$

$$A=α+β\\
B=α-β\\
α=\frac{A+B}{2}\\
β=\frac{A-B}{2}$$

4つの式を代入して、


$$cos\,A-cos\,B=-2sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$$


   

例題

$sin15°+sin75°$の値を求めよ。

$$\begin{align}
sin15°+sin75°&=2sin(\frac{15°+75°}{2})cos(\frac{15°-75°}{2})\\\\
&=2sin45°cos(-60°)\\\\
&=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}\\\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\
&=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{align}$$


公式を使って解くとこんな感じです。

$①\quad sin\,A+sin\,B=2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$を使いました。

最後のところで有理化していますが、していない$\frac{1}{\sqrt{2}}$を答えとしてもいいと思います。(ダメっていう人もいるかもしれませんが・・・)

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$α,β→A,B$に変えることで、公式に代入するだけでよくなるという利点があります。

練習問題

$sin\frac{7}{12}π\,cos\frac{1}{12}π$の値を求めよ。

積和の①を使って解く。


$$\begin{align}
sin\frac{7}{12}π\,cos\frac{1}{12}π &=\frac{1}{2}\left\{sin\left(\frac{7}{12}π\right)+\sin\left(\frac{1}{12}π\right)\right\}\\\\
&=\frac{1}{2}\left\{sin\left(\frac{7}{12}π+\frac{1}{12}π\right)+\sin\left(\frac{7}{12}π-\frac{1}{12}π\right)\right\}\\\\
&=\frac{1}{2}\left(sin\frac{2}{3}π+sin\frac{1}{2}π\right)\\\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)\\\\
&=\frac{\sqrt{3}+2}{4}
\end{align}$$


$\frac{\sqrt{3}+2}{4}$
   
$sinx-sin2x+sin3x=0\quad$のxの値を求めよ。($0\leqq x\leqq \frac{π}{2}$)

和積の①を使うと、

$$sinx+sin3x=2sin\frac{x+3x}{2}cos\frac{x-3x}{2}$$

となることから解く。


$$\begin{align}
sinx-sin2x+sin3x&=2sin\frac{x+3x}{2}cos\frac{x-3x}{2}-sin2x\\\\
&=2sin2x\,cos(-x)-sin2x\\\\
&=2sin2x\,cos\,x-sin2x\\\\
&=sin2x(2cos\,x-1)
\end{align}$$


左辺=0なので、$sin2x(2cos\,x-1)=0$となるので、よって、


$$sin2x=0\quad or\quad 2cos\,x-1=0$$

$$x=0,\frac{π}{2},\frac{π}{3}$$


$x=0,\frac{π}{2},\frac{π}{3}$
   

まとめ

特になし

自分は毎回加法定理から導いています。

覚えるのが苦手ではない方は覚えてもいいと思いますが、そこまで頻出というわけでもないのでなかなかずっと覚えることは難しいと思います。

積和、和積の公式を覚えるよりも加法定理の方が重要度が高いので覚えるならそっちにしましょう。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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