3つ以上の積の関数を微分する

数学
積の微分の公式
$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$f(x)g(x)h(x)\,$の関数の微分を求めよ

積の微分の公式

$$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

$f(x)g(x)h(x)\,$の関数の微分において、$g(x)h(x)=G(x)\,$とします。よって、

$$\scriptsize{\begin{align}
\left\{f(x)g(x)h(x)\right\}’&=\left\{f(x)G(x)\right\}’\\
&=f'(x)G(x)+f(x)G'(x)\\
&=f'(x)\textcolor{bule}{g(x)h(x)}+f(x)\textcolor{bule}{\left\{g(x)h(x)\right\}’}\\
&=f'(x)g(x)h(x)+f(x)\left\{g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\right\}\\
&=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)
\end{align}}$$

つまり、

$$\scriptsize{\textcolor{red}{\left\{f(x)g(x)h(x)\right\}’=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)}}$$

$f(x)g(x)h(x)i(x)\,$の関数の微分を求めよ

3つの積の微分の公式 $$\left\{f(x)g(x)h(x)\right\}’=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$

$f(x)g(x)h(x)i(x)\,$の関数の微分において、$g(x)h(x)i(x)=G(x)\,$とします。よって、

$$\scriptsize{\begin{align}
\left\{f(x)g(x)h(x)i(x)\right\}’&=\left\{f(x)G(x)\right\}’\\
&=f'(x)G(x)+f(x)G'(x)\\
&=f'(x)\textcolor{blue}{g(x)h(x)i(x)}+f(x)\textcolor{blue}{\left\{g(x)h(x)i(x)\right\}’}\\
&=f'(x)g(x)h(x)+f(x)\left\{g'(x)h(x)i(x)+g(x)h'(x)i(x)+g(x)h(x)i'(x)+\right\}\\
&=f'(x)g(x)h(x)i(x)+f(x)g'(x)h(x)i(x)+f(x)g(x)h'(x)i(x)+f(x)g(x)h(x)i'(x)
\end{align}}$$

つまり、

$$\scriptsize{\textcolor{red}{\left\{f(x)g(x)h(x)i(x)\right\}’=f'(x)g(x)h(x)i(x)+f(x)g'(x)h(x)i(x)+f(x)g(x)h'(x)i(x)+f(x)g(x)h(x)i'(x)}}$$

n個の積の関数の微分

上で先に紹介した3つの積の場合と、4つの積の場合で大体わかったと思います。

積の形になっている関数を微分するなら、1つ1つの積の要素を微分して、それ以外の積の要素はそのままの状態でかけるを要素分繰り返せばいいことが分かります。

$f(x)g(x)h(x)\,$の微分の答えは、

①$f(x)$のみを微分する
→$\textcolor{red}{f'(x)}g(x)h(x)$
②$g(x)$のみを微分する
→$f(x)\textcolor{blue}{g'(x)}h(x)$
③$h(x)$のみを微分する
→$f(x)g(x)\textcolor{green}{h'(x)}$

全てを足したものが答えになります。
→$\textcolor{red}{f'(x)}g(x)h(x)+f(x)\textcolor{blue}{g'(x)}h(x)+f(x)g(x)\textcolor{green}{h'(x)}$

練習問題

次の関数を微分せよ。
$$y=(x+1)(x^2+2)(x+3)$$
$$\scriptsize{\begin{align}y’&=(x+1)'(x^2+2)(x+3)+(x+1)(x^2+2)'(x+3)+(x+1)(x^2+2)(x+3)’\\ &=(x^2+2)(x+3)+(x+1)(2x)(x+3)+(x+1)(x^2+2)\\ &=x^3+3x^2+2x+3+2x^3+8x^2+6x+x^3+x^2+2x+2\\ &=4x^3+12x^2+10x+5\end{align}}$$
$y’=4x^3+12x^2+10x+5$
   
次の関数を微分せよ。
$$y=x^2(x+1)sin\,x\,cos\,x$$
$$\scriptsize{\begin{align}y’&=2x(x+1)sin\,x\,cos\,x+x^2sin\,x\,cos\,x\\ &\quad +x^2(x+1)cos\,x\,cos\,x+x^2(x+1)sin\,x\,(-sin\,x)\\ &=(2x^2+2x+x^2)sin\,x\,cos\,x+x^2(x+1)(cos^2x-sin^2x)\\ &=(3x^2+2x)sin\,x\,cos\,x+x^2(x+1)(cos^2x-sin^2x) \end{align}}$$
$y’=(3x^2+2x)sin\,x\,cos\,x+x^2(x+1)(cos^2x-sin^2x)$
   

まとめ

積の関数の微分は、要素1つずつを微分して足し合わせて計算します。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

ロゴ

コメント

タイトルとURLをコピーしました