平均値の定理の使い方と不等式、極限の応用問題

数学
基礎的な微分。

平均値の定理とは

関数$\,f(x)\,$が$\,a\leqq x\leqq b\,$で連続であり、$a < x < b\,$で微分可能なとき、必ず以下の3つを満たします。

(1)$\quad \large{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)\,,\quad (a < c < b)$
$\quad\quad$を満たす$\,c\,$が存在する。

(2)$\quad f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\,,\quad (a < c < b)$
$\quad\quad$を満たす$\,c\,$が存在する。

また、$b=a+h\,$とすると、
(3)$\quad f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)\,,\quad (0 < θ < 1)$
$\quad\quad$を満たす$\,θ\,$が存在する。

というのが平均値の定理の基本ですが、これを見ただけで分かるという人はすごいです。

詳しく説明していきます。

(1)$\quad \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\,,\quad (a < c < b)$

(1)~(3)まで平均値の定理の式がありましたが、実際には(2)と(3)は、(1)の別の表現なので(1)を正しく理解できれば平均値の定理はできるようになります。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$

この式の左辺は、2つの点$\,(a\,,\,f(a))\,$と$\,(b\,,\,f(b))\,$を結んだ直線の傾きを表しています。xの増加量分のyの増加量($\frac{yの増加量}{xの増加量}$)っていう中学校で習ったやつです。

右辺は、x座標が$\,c\,$の点での接線の傾きを表しています。そして、左辺=右辺となっているので左辺の傾きと同じになるように$\,c\,$は適宜最適なものを選びます。

ここまでだと定理というには微妙ですが、ここに$\,a < c < b\,$の条件が付けくわえられることがこの定理の重要なとこです。

つまり、適宜最適なものを選んだときの$\,c\,$が$\,a\,$と$\,b\,$の間に必ずあることを表します。

上の説明の例

関数$\,f(x)=\sqrt{x}\quad(x>0)\,$について、

$x=1\,$と $\,x=9\,$のときの2つの点を結んだ直線の傾きを調べます。

$$\begin{align}
\frac{f(9)-f(1)}{9-1}&=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{1}}{9-1}\\
&=\textcolor{blue}{\frac{1}{4}}
\end{align}$$

次に、この傾きと同じになるような接線を求めます。

接線の傾きは、微分で求められるので、関数$\,f(x)\,$を微分して、

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

これが、傾き$\,\textcolor{blue}{\frac{1}{4}}\,$になるので、

$$\begin{align}
\frac{1}{2\sqrt{x}}&=\textcolor{blue}{\frac{1}{4}}\\
\sqrt{x}&=2\\
x&=\textcolor{red}{4}
\end{align}$$

つまり、$x=\textcolor{red}{4}\,$のときの接線の傾きが、$\textcolor{blue}{\frac{1}{4}}\,$になります。そしてこれは、$1 < \textcolor{red}{4} < 9\,$となり、1から9までの間に含まれていることを表しています。

関数$\,f(x)=\sqrt{x}\,$を設定して、2点$\,(1,1)\,,\quad(9,3)\,$の直線の傾きが、関数$\,f(x)=\sqrt{x}\,$の$\,x=4\,$のときの接線の傾きと同じになり、$\,x=4\,$は、$x=1\,$と$\,x=9\,$の間($\,1 < 4 < 9\,$)に必ず存在する。

↓ これを一般的にすると、

関数$\,f(x)\,$を設定して、2点$\,(a\,,\,f(a))\,,\quad(b\,,\,f(b))\,$の直線の傾きが、関数$\,f(x)\,$の$\,x=c\,$のときの接線の傾きと同じになり、$\,x=c\,$は、$x=a\,$と$\,x=b\,$の間($\,a < c < b\,$)に必ず存在する。

(2)$\quad f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\,,\quad (a < c < b)$

(2)は(1)の別の表現なので簡単です。

(1)$\quad \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\,,\quad (a < c < b)\,$より、左辺の$\,b-a\,$を右辺に移項することで、

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$

となり、(2)になります。

しかし、(2)はほとんど問題を解くのには使いません。(1)を使うことがほとんどです。

(3)$\quad f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)\,,\quad (0 < θ < 1)$

(3)は(1)の別の表現ですが、(1)から変形して求めるより、(2)から変形して求める方が近いのでそっちで説明します。

まず、一番に理解しておいてほしいことは$\,θ\,$は角度のことを表しているわけでもなく、適当に選んだ文字であり、他の文字でも別に大丈夫だということです。

では、(2)$\quad f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\,,\quad (a < c < b)\,$から求めていきます。

$b=a+h\,$とします。

$$f(a+h)-f(a)=f'(c)(a+h-a)\,,\quad (a < c < a+h)$$

$a < c < b\,$も変え、$a < c < a+h\,$とします。そして、式を整理して、

$$f(a+h)=f(a)+hf'(c)$$

そして、最後に、$c=a+θh\,$とします。これは$\,a < c < a+h\,$からくるもので、

$$a+0\cdot h < c <a+1\cdot h$$

とした方が分かりやすいかもしれません。$c\,$が$\,a+0\cdot h\,$と$\,a+1\cdot h\,$の間のどこかに必ずあるので、$h\,$にかける値が0~1の間になれば、OKになります。よって、

$$f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)\,,\quad (0 < θ < 1)$$

となります。

平均値の定理の解き方

平均値の定理を使って解く問題には、

  • 平均値の定理の基礎の基礎
  • 平均値の定理の利用(不等式と極限)

の大きく分けて2つがあります。

1個目の「平均値の定理の基礎の基礎」も、もともと定理が難しいので、問題も難しいです。

2個目の「平均値の定理の利用」の方も、もちろん難しいのですが、解き方のポイントがあります。

そして、前提条件として、平均値の定理を利用するには、

$\cdot a\leqq x\leqq b\quad$で連続であること  

$\cdot a < x < b\quad$で微分可能であること

が必要です。

平均値の定理を使用して解く問題の解き方を、例題を解きながら説明します。

例題(平均値の定理の基礎の基礎)

関数$\,f(x)=\sqrt{x}\,$について、$a\,,\quad b\,$を正の定数とするとき、平均値の定理
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\,,\quad (a < c < b)$$ を満たす$\,c\,$を$\,a\,\quad b\,$の式で表せ。

$f(x)=\sqrt{x}\,$より、

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

ここで、$c\,$の座標についての接線の傾きを考えることで、

$$f'(c)=\frac{1}{2\sqrt{c}}$$

よって、平均値の定理から、

$$\begin{align}
\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}&=\frac{1}{2\sqrt{c}}\\
2\sqrt{c}&=\frac{b-a}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\\
&=\frac{(b-a)(\sqrt{b}+\sqrt{a})}{(b-a)}\\
&=\sqrt{b}+\sqrt{a}\\
\sqrt{c}&=\frac{\sqrt{b}+\sqrt{a}}{2}\\
c&=\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{a})^2}{4}
\end{align}$$

$$c=\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{a})^2}{4}$$

一応、$a < c\,(= \frac{(\sqrt{b}+\sqrt{a})^2}{4}) < b\,$になることを確認していますが、あんまり知らなくてもいいことですので、知りたい方はクリックしてください。

$\sqrt{a}<\sqrt{b}\,$より、

$$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}}{2}<\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}<\frac{\sqrt{b}+\sqrt{b}}{2}\\
\sqrt{a}<\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}<\sqrt{b}$$

すべてを2乗することにより、

$$a < \frac{(\sqrt{b}+\sqrt{a})^2}{4} < b$$

証明完了です。

   
例題の答え$\,c=\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{a})^2}{4}\,$がどういうことかについて。

これは、目次の平均値の定理とはで書いてある例で、$a=1\,$と$b=9\,$としたとき、$c=4\,$になっていました。
これは、答えを満たしています。
$$\begin{align} c&=\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{a})^2}{4}\\ c&=\frac{(\sqrt{9}+\sqrt{1})^2}{4}\\ &=\frac{(3+1)^2}{4}\\ &=4 \end{align}$$ よって、$c=4\,$になっています。

例題2

関数$\,f(x)=\frac{1}{x}\,$について、$a\,,\quad h\,$を正の定数として、$f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)\quad (0 < θ < 1)\,$を満たす$\,θ\,$の値を求め、$\displaystyle\lim_{h→0}\,θ\,$の値を求めよ。

$f(x)=\frac{1}{x}\,$より、

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$

よって、平均値の定理$\,f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)\,$より、

$$\begin{align}
\frac{1}{a+h}&=\frac{1}{a}-\frac{h}{(a+θh)^2}\\
\frac{h}{(a+θh)^2}&=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+h}\\
\frac{h}{(a+θh)^2}&=\frac{h}{a(a+h)}\\
(a+θh)^2&=a(a+h)
\end{align}$$

$a+θh>0\,$であるから、

$$\begin{align}
a+θh&=\sqrt{a(a+h)}\\
θ&=\frac{\sqrt{a(a+h)}-a}{h}
\end{align}$$

$θ\,$については求められました。これをもとに$\,\displaystyle\lim_{h→0}\,θ\,$を求めます。

$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{h→0}\,θ&=\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{\sqrt{a(a+h)}-a}{h}\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{a(a+h)-a^2}{h(\sqrt{a(a+h)}+a)}\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{ah}{h(\sqrt{a(a+h)}+a)}\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{a}{\sqrt{a(a+h)}+a}\\
&=\frac{a}{a+a}\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}$$

$$θ=\frac{\sqrt{a(a+h)}-a}{h}$$ $$\displaystyle\lim_{h→0}\,θ=\frac{1}{2}$$

例題3(不等式)

次の不等式が成り立つのを証明せよ。 $$0 < log\frac{e^t-1}{t} < t$$

ここからは、平均値の利用の解き方を例題付きで説明しますが、ポイントをしっかり押さえて解いていきます。

①$\,f(x)\,$を設定する

平均値の定理は、$f(b)-f(a)\,$となっているので、「何か$-$何か」になっている部分を探します。

よって、$e^t-1\,$が見つかります。$e^t\,$と$\,1\,$は全然異なるものに見えるので、同じような形にします。

$e^t\,$は変形できそうにないので、$\,1\,$の方を$\,e^t\,$に近づけます。よって、$1=e^0\,$となります。

どちらも、$e^k\,$という形になっているので、

$$f(x)=e^x$$

となります。

②$\,$範囲を設定する

「$f(x)\,$を設定する」より、

$$e^t-e^0$$

があることが分かっていて、$f(x)=e^x\,$なので、$x\,$の位置がそのまま範囲になります。

$$\textcolor{blue}{0→t}$$

となります。

③$\,c\,$を求める(重要)

$f(x)=e^x\,$より、$f'(x)=e^x\,$なので、

$$f'(c)=e^c$$

よって、平均値の定理から、

$$\frac{e^t-e^0}{t-0}=f'(c)=e^c$$

ここから$\,c\,$を求めます。

$$\begin{align}
&\frac{e^t-e^0}{t-0}=e^c\\
&log\,\frac{e^t-1}{t}=c\,log\,e\\
&\textcolor{red}{c=log\,\frac{e^t-1}{t}}
\end{align}$$

となります。

④$\,$最後に範囲から答えを出す

今回の範囲は$\,\textcolor{blue}{0→t}\,$だったので、

$$0<c<t$$

が成り立つので、$\,c\,$を代入して、

$$0<\textcolor{red}{log\,\frac{e^t-1}{t}}<t$$

これで、証明完了です。

証明なので上を参照

例題4(極限値)

次の極限値を求めよ。 $$\displaystyle\lim_{x→0}\,\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}$$

手順は、例題3の不等式の問題と全く同じです。

①$\,f(x)\,$を設定する

$$f(x)=e^x$$

と簡単に見つけられる問題ですね。

②$\,$範囲を設定する

問題の式の$\,e^x-e^{sin\,x}\,$の部分より、

$$\textcolor{blue}{x→sin\,x}$$

となります。

③$\,c\,$を求める

$f(x)=e^x\,$より、$f'(x)=e^x\,$なので、

$$f'(c)=e^c$$

よって、平均値の定理から、

$$\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}=f'(c)=e^c$$

ここから$\,c\,$を求めます。

$$\textcolor{red}{c=log\,\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}}$$

④$\,$最後に範囲から答えを出す

今回の範囲は$\,\textcolor{blue}{x→sin\,x}\,$だったので、

$$x<c<sin\,x$$

が成り立つので、$\,c\,$を代入して、

$$x<\textcolor{red}{log\,\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}}<sin\,x$$

ここで、はさみうちの原理を使います。

$$\begin{align}
&\displaystyle\lim_{x→0}\,x=0\\
&\displaystyle\lim_{x→0}\,sin\,x=0
\end{align}$$

左右が極限値が0になるので、当然真ん中も0になるはずです。よって、

$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{x→0}\,\textcolor{red}{log\,\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}}&=0\\
\displaystyle\lim_{x→0}\,\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}&=e^0\\
&=1
\end{align}$$

$$\displaystyle\lim_{x→0}\,\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}=1$$
$\,c\,$が求められない場合は、$x < c < sin\,x\,$で、$\displaystyle\lim_{x→0}\,$において、左右は、$x→0\,,\quad sin\,x→0\,$となるので、$c→0\,$となることから、
$$\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}=e^c$$ これに代入して、
$$\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}=e^0=1$$ よって、
$$\displaystyle\lim_{x→0}\,\frac{e^x-e^{sin\,x}}{x-sin\,x}=1$$ という風にも求められます。

練習問題

次の不等式が成り立つのを証明せよ。 $$\frac{1}{a+1} < log\,(a+1)-log\,a < \frac{1}{a}$$
$f(x)=log\,x\,$として、$f'(x)=\frac{1}{x}\,$より、
$$f'(c)=\frac{1}{c}$$ 平均値の定理より、
$$\begin{align} &\frac{log\,(a+1)-log\,a}{a+1-a}=\frac{1}{c}\\ &c=\frac{1}{log\,(a+1)-log\,a} \end{align}$$ よって、定理の範囲から、$a < c < a+1\,$より、代入して、
$$a < \frac{1}{log\,(a+1)-log\,a} < a+1$$ そして、逆数を取ることで、
$$\frac{1}{a+1} < log\,(a+1)-log\,a < \frac{1}{a}$$ が成り立つ。

証明なので上を参照

   
次の極限値を平均値の定理を用いて求めよ。 $$\displaystyle\lim_{x→+2}\,\frac{sin\,\frac{1}{2}πx}{x-2}$$
これは難しくて、分子が$\,sin\,\frac{1}{2}πx-0\,$になっていると考え、$f(x)=sin\,\frac{1}{2}πx\,$とします。よって、$f'(x)=\frac{1}{2}π\,cos\,\frac{1}{2}πx$より、
$$f'(c)=\frac{1}{2}π\,cos\,\frac{1}{2}πc$$ 範囲は、$2→x\,$となっています。
平均値の定理より、
$$\begin{align} \frac{sin\,\frac{1}{2}πx-sin\,\frac{1}{2}π\cdot 2}{x-2}&=\frac{1}{2}π\,cos\,\frac{1}{2}πc\\ \frac{sin\,\frac{1}{2}πx-0}{x-2}&=\frac{1}{2}π\,cos\,\frac{1}{2}πc \end{align}$$ この問題は、$\,c=\,$とはしないで解きます。
定理の範囲から、$2 < c < x\,$で、$\displaystyle\lim_{x→+2}\,$なので、
はさみうちの原理より、$c→2\,$となる。よって、
$$\begin{align} \displaystyle\lim_{x→+2}\,\frac{sin\,\frac{1}{2}πx-0}{x-2}&=\displaystyle\lim_{x→+2}\,\frac{1}{2}π\,cos\,\frac{1}{2}πc\\ &=\frac{1}{2}π\,cos\,\frac{1}{2}π\cdot 2\\ &=\frac{1}{2}π\,cos\,π\\ &=-\frac{1}{2}π \end{align}$$
$$\displaystyle\lim_{x→+2}\,\frac{sin\,\frac{1}{2}πx}{x-2}=-\frac{1}{2}π$$
   

まとめ

(1)$\quad \large{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)\,,\quad (a < c < b)$

これの意味と、使い方について。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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