合成関数の微分の公式と解き方

数学
$y=x^n\,$の微分は、$y’=nx^{n-1}$

合成関数とは

関数$\,y=f(u),\,u=g(x)\,$になっている$\,y=f(g(x))\,$のような関数を合成関数と言います。

$\textcolor{red}{\cdot\quad y=(x^2+x+3)^4}$
$\scriptsize{\quad y=u^4,\,u=x^2+x+3}$

$\textcolor{red}{\cdot\quad y=\sqrt{3x^2+1}}$
$\scriptsize{\quad y=u^\frac{1}{2},\,u=3x^2+1}$

$\textcolor{red}{\cdot\quad y=log\,{x^3+x}}$
$\scriptsize{\quad y=log\,{u},\,u=x^3+x}$

こんな感じの関数が合成関数と言われます。

合成関数の微分の解き方

合成関数$\,y=f(g(x))\,$の微分は、

$\large{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}}$

もしくは、

$\left\{f(g(x))\right\}’=f'(g(x))g'(x)$

と書かれ、解くことができる。

どちらも書き方が少し異なるだけで書いてあることは同じで、解き方も同じです。

$y=f(g(x))\quad(y=f(u),\,u=g(x))\,\,$となる合成関数があります。これを$\,x\,$で微分するなら、上にある公式を利用します。

$$\textcolor{red}{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}}$$

$\frac{dy}{dx}\,$は、関数$\,y\,$を微分した答えを表していて、$\frac{dy}{du}\,$は、関数$\,y\,$を関数$\,u\,$で微分することを表していて、$\frac{du}{dx}\,$は$\,x\,$での微分を表しています。

$$\begin{align}
\frac{dy}{dx}&=\frac{dy\times\textcolor{blue}{du}}{dx\times\textcolor{blue}{du}}\\\\
&=\frac{dy\times\textcolor{blue}{du}}{\textcolor{blue}{du}\times dx}\\\\
&=\frac{dy}{\textcolor{blue}{du}}\cdot\frac{\textcolor{blue}{du}}{dx}
\end{align}$$

のような感じで、考える分数と考えると覚えやすいと思います。

例題

次の関数を微分せよ。
$$y=(x^2+x+3)^4$$

関数$\,y=(x^2+x+3)^4\,$は、$\,y=u^4\,$と$\,u=x^2+x+3\,$の合成関数になっています。微分の答えである$\,\frac{dy}{dx}\,$を解きます。

$y=u^4\,$より、$(u=x^2+x+3)$

$$\begin{align}
\frac{dy}{du}&=4u^3\\
&=4(x^2+x+3)^3
\end{align}$$

$u=x^2+x+3\,$より、

$$\frac{du}{dx}=2x+1$$

よって、公式に当てはめて解くと

$$\begin{align}
\frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\
&=4(x^2+x+3)^3\cdot (2x+1)
\end{align}$$

$$y’=4(2x+1)(x^2+x+3)^3$$

つまりは、$\left\{f(g(x))\right\}’=f'(g(x))g'(x)\,$で解くことができます。

$$y=(x^2+x+3)^4$$

において、まず中身は無視して微分をして、中身の部分$\,x^2+x+3\,$を微分してかけることで答えを求めることができます。

$$y’=\textcolor{red}{4(x^2+x+3)}\textcolor{blue}{\cdot (x^2+x+3)’}$$

$$y’=\textcolor{red}{4(x^2+x+3)}\textcolor{blue}{(2x+1)}$$

練習問題

次の関数を微分せよ。
$$y=\sqrt{3x^2+1}$$
$y=u^{\frac{1}{2}},\,u=3x^2+1\,$と考える。

$$\begin{align}\frac{dy}{du}&=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}\end{align}$$
$$\frac{du}{dx}=6x$$ よって、

$$\begin{align}\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}\cdot 6x\\&=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}\end{align}$$
$$y’=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}$$
   
次の関数を微分せよ。
$$y=log\,{x^3+x}$$
$y=log\,{u},\,u=x^3+x\,$と考える。

$$\begin{align}\frac{dy}{du}&=\frac{1}{u}\\&=\frac{1}{x^3+x}\end{align}$$
$$\frac{du}{dx}=3x^2+1$$
$y=log\,x\,$の微分は、$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\,$になります。
よって、

$$\begin{align}\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{x^3+x}\cdot (3x^2+1)\\&=\frac{3x^2+1}{x^3+x}\end{align}$$
$$y’=\frac{3x^2+1}{x^3+x}$$
   

まとめ

関数$\,y\,$に関数$\,u\,$が含まれている形になっている合成関数なら微分は、

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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