この記事では、数学記号の1つΣ(シグマ)について解説します。
Σは高校数学から出てくる記号で、一見難しそうなので勉強しにくい感じがありますが、
構造は意外とシンプルかつ合理的です。
和の記号Σ(シグマ)の基本的意味
Σ(シグマ)は、規則的にならんだ足し算を簡略化して書くためにある記号です。
Σ(シグマ)の基本的構造
$$\displaystyle\sum^{\color{#00a000}{b}}_{\color{#00a000}{k=a}}\color{#ff6611}{(kの式)}$$
和の記号Σは、役割別に$\,\sum\,,\,$$\,\color{#ff6611}{kの式}\,,\,$$\,\color{#00a000}{k=a}$と$\color{#00a000}{b}\,$の３つの部分に分けられます。
- $\sum$ … 足し算をしますよということを表すただの記号。
- $\color{#ff6611}{kの式}$ … 足し算するものの規則性を表す。
- $\color{#00a000}{k=a}$と$\color{#00a000}{b}$ … kの式に代入する整数の範囲を表す。
例：
$・\displaystyle\sum^{7}_{k=2}(9k)=9\cdot 2+9\cdot 3+9\cdot 4+\cdots+9\cdot 7$
$・\displaystyle\sum^{n}_{k=1}(k^2)=1+2^2+3^2+\cdots+n^2$
$・\displaystyle\sum^{n}_{k=1}(3)=\underbrace{3+3+3+\cdots+3}_{n個}$
最後の例は、kを含まない式なので、1や2, nを代入しても常に３で、1～nまですべて代入すると、n個の3が出来るので、３をn回足すようになっています。
※アルファベットはkである必要はなく、iやjのときもあります。
Σ(シグマ)の公式
シグマで使えるようにしとくべき公式は５つです。
Σ(シグマ)の５つの公式
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1=n$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=\frac{r^{n}-1}{r-1}$
この5つの公式を覚えておけばOKです。
どちらかと言えば公式より重要な、Σの基本計算
次に、Σの基本的な計算方法について説明します。
Σの計算で基本となるのは、「分ける」か「出す」かです。
Σの基本計算「分ける」
例：
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^{2}+3k-5)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-5)$
Σの基本計算「出す」
例：
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}7k=7\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\,2\,\,=2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1$
シグマ内では足し算は分けることができ、
また、かけ算ならｋに関係ない部分は外に出すことができます。
シグマの問題では、この2つの計算で公式の形を作り、公式を適用して答えを求めます。
例題
$3k^{2}-k+5$の$\,k\,$に$\,1～n\,$までの整数を代入したときの総和を求めてください。
$$\begin{align}
&\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k^{2}-k+5)\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3k^{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-k)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}5\\
&=3\color{red}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}}-\color{red}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k}+5\color{red}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1}\\
&=3\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)+5\cdot n\\
&=\frac{1}{2}n(n+1)\left\{(2n+1)-1\right\}+5n\\[0.7em]
&=\color{red}{\underline{n^{3}+n^{2}+5n}_{//}}
\end{align}$$
公式の$\scriptsize{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}}\,,\,\scriptsize{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k}\,,\,\scriptsize{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1}$の形を作り、公式を適用して答えを求めました。
※上の答えは、3k²－k+5 の k に1,2,…,nまで代入した総和 7+15+…+(3n²－n+5)は、n³+n²+5n になるという意味です。
Σの上がn-1のときのΣの公式の扱い方
Σの上がn-1のときは、問題を解いていくとよく出てきます。
そんな時に、この章の最初に示した「Σの公式5つ」をどのようにして使うのか説明します。
簡単です。Σの公式のｎのところをｎ－１に替えるだけです。
例えば、$\small{②\,\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)}$ この公式なら、
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}$
となります。
他の公式も同じように、ｎのところをｎ－１に替えれば、正しい式を得られます。
n-1のときのΣの５つの公式
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1=n-1$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}n(n-1)$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}=\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1)$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^{3}=\left\{\frac{1}{2}n(n-1)\right\}^{2}$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}r^{k-1}=\frac{r^{n-1}-1}{r-1}$
最後まで読んでいただきありがとうございました。
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