定積分の解き方

数学
積分の基本的なこと

定積分の定義

$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

【補足】:$F(x)\,$は微分したら$\,f(x)\,$になるものとします。

定積分のグラフでの解釈

$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx\,$は、$\,a~b\,$の範囲でのグラフの面積を表しています。

なぜ定積分がグラフの面積を表すことになるかを補足しておきます。

$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx\,$について

$dx\,$はx軸の微小範囲を表しています。また、$y=f(x)\,$は高さを表しているので、

$f(x)\,dx\,$は、横の長さが極端に狭い長方形の面積を表しています。

そして、$\displaystyle \int_{a}^{b}\,$があることで、その縦長の長方形を$\,a\,$から$\,b\,$まで集めることを表しています。

よって、$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx\,$は、$\,a\,$から$\,b\,$まで集めた縦長の長方形の面積にになっています。

※上の図だと白い部分が残っていますが、実際にはもっと横幅が狭くなってチョー細い縦長の長方形を集めることになります。

定積分の性質

定積分に関して、これぐらいのことは覚えておいてもいいかなと思う性質4つです。

$\displaystyle \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{red}{a}}\,f(x)\,dx=0$

$\displaystyle \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{blue}{b}}\,f(x)\,dx=-\displaystyle \int_{\textcolor{blue}{b}}^{\textcolor{red}{a}}\,f(x)\,dx$

$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx=\displaystyle \int_{a}^{\textcolor{blue}{c}}\,f(x)\,dx+\displaystyle \int_{\textcolor{blue}{c}}^{a}\,f(x)\,dx$

$\displaystyle \int_{a}^{b}\,\left\{f(x)+g(x)\right\}\,dx=\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx+\displaystyle \int_{a}^{b}\,g(x)\,dx$

定積分の解き方

不定積分と同じように積分した後に、$\displaystyle \int_{}^{}\,$(インテグラル)の上と下に書いてある数値を代入して、

上を代入したものから、下を代入したものを引きます。

$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

そして、不定積分で使った$\,C\,$(積分定数)は定積分では使いません

不定積分の解き方↓

不定積分の公式(基本的なもの)
微分不定積分の公式一覧(1)$\,x^a\,$の不定積分 ・$a\neq -1\,$のとき $\displaystyle \int_{}^{}\,x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C$...

例題

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{4}^{1}\,(x+\sqrt{x})\,dx$$

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{4}^{1}\,(x+\sqrt{x})\,dx&=\left[\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{4}\\
&=\left(\frac{1}{2}\cdot 4^2+\frac{2}{3}\cdot 4^{\frac{3}{2}}\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot 1^2+\frac{2}{3}\cdot 1^{\frac{3}{2}}\right)\\
&=8+\frac{16}{3}-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\\
&=\frac{73}{6}
\end{align}$$

$$\frac{73}{6}$$

例題2

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{1}^{0}\,\frac{1}{(x^2-4)}\,dx$$

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{0}^{1}\,\frac{1}{(x^2-4)}\,dx&=\displaystyle \int_{0}^{1}\,\frac{1}{(x+2)(x-2)}\,dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle \int_{0}^{1}\,\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)\,dx\\
&=\frac{1}{4}\left[log\,|x-2|-log\,|x+2|\right]_{0}^{1}\\
&=\frac{1}{4}\left[log\,\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\right]_{0}^{1}\\
&=\frac{1}{4}\left(log\,\left|\frac{-1}{2}\right|-log\,\left|-1\right|\right)_{0}^{1}\\
&=-\frac{1}{4}log\,2
\end{align}$$

$$-\frac{1}{4}log\,2$$

解くときに部分分数分解を使っています。

部分分数分解の解き方を知りたい人はこちら↓

部分分数分解の解き方(3パターン)
特になし部分分数分解とは例題を上げて説明すると、$$\frac{1}{x^2+3x+2}=\scriptsize{\frac{1}{x^2+3x+2}}=\frac{1}{x+1}+\frac{-1}{...

練習問題

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{\frac{π}{4}}^{0}\,cos\,2x\,dx$$
$$\begin{align} \displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{4}}\,cos\,2x\,dx&=\left[\frac{1}{2}sin\,2x\right]_{0}^{\frac{π}{4}}\\ &=\frac{1}{2}sin\,\frac{π}{2}-\frac{1}{2}sin\,0\\ &=\frac{1}{2} \end{align}$$
$$\frac{1}{2}$$
   
次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{1}^{0}\,e^{-3x}\,dx$$
$$\begin{align} \displaystyle \int_{1}^{0}\,e^{-3x}\,dx&=\left[\frac{1}{-3}e^{-3x}\right]_{0}^{1}\\ &=\frac{1}{-3}e^{-3}-\frac{1}{-3}e^{0}\\ &=-\frac{1}{3}(e^{-3}-1) \end{align}$$
$$-\frac{1}{3}(e^{-3}-1)$$
   

まとめ

定積分は面積を表していて、積分定数$\,C\,$は必要ありません。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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