【関数】2次関数の頂点 平方完成での求め方(5分以内で分かる)

数学
$y=a(x-p)^2+q$。この形での2次関数の表し方。
頂点が(p,q)になること。
$x^2+ax$を

$(x+\frac{a}{2})^2-${余分な分$(a^2)$}

この形が平方完成。

2次関数の頂点の位置を求める

$$y=3x^2+18x+30$$

$$y=2(x+1)^2-3$$

上の2つの式はどちらも2次関数を表しています。少し勉強した人であれば、下の方は座標上のどの辺に位置しどんな感じになるか概形が思いつくと思います。

$y=2x^2$をx軸の方向に$-1$、y軸方向に$-3$、平行移動させた下のグラフになります。

それに対し、上の式は、今のままでは、頂点の位置が分かりません。そこで分かるようにするためにする作業が平方完成です。


$$y=3x^2+18x+30$$

↓ 平方完成

$$y=a(x-p)^2+q$$

こうすれば、頂点(p,q)になります。(a,p,qには、数値が入ります。)


平方完成のやり方

$y=ax^2+bx+c$と2次関数の式があったとすると、平方完成後の式は、

$$y=a(x+\frac{1}{2}\frac{b}{a})^2+c-(\frac{1}{2}\frac{b}{a})^2$$

となります。頂点は、$(-\frac{1}{2}\frac{b}{a},c-(a\cdot\frac{1}{2}\frac{b}{a})^2)$

上のは一般形ですが覚えなくていいです。(正直自分が見ても気持ち悪い式ですので・・・)

これを覚えなくても問題が解けるようになりさえすれば大丈夫です。


$y=3x^2+18x+30$を使って説明します。

まずは、$x^2$の前の数字で$x^2$と$x$をまとめます。


$$y=3x^2+6x+5=3(\textcolor{blue}{x^2+6x})+30$$


次に、今作ったこれ$\textcolor{blue}{x^2+6x}$を、$(x+O)^2$の形にします。ここで、以下の式の展開を思い出してください。

$(x+a)^2=x^2+2\cdot a\cdot x +a^2$

一番後ろにある$a^2$は無視して、$\textcolor{red}{x^2+2\cdot a\cdot x}$と$\textcolor{blue}{x^2+6x}$を見比べます。この2つをイコールの関係にするには、$\textcolor{red}{a=3}$になればいいと分かります。

よって、上の式に代入して


$$\textcolor{red}{(x+3)^2}=x^2+6x+9$$


となります。しかし、このままでは$\textcolor{blue}{x^2+6x}$ イコール $\textcolor{red}{(x+3)^2}$ とはなりません。(さっきは、$a^2$を無視していた。)

この2つをイコールにするために、余分な分を引きます。


$$\begin{align}
\textcolor{blue}{x^2+6x}&\quad\textcolor{red}{(x+3)^2}\\\\
\textcolor{blue}{x^2+6x}&=\textcolor{red}{(x+3)^2}-3^2
\end{align}$$


ここまで出来たら、$3(\textcolor{blue}{x^2+6x})+30$に代入して、式を整理していきます。


$$\begin{align}
y&=3(x^2+6x)+30\\\\
&=3{\textcolor{red}{(x+3)^2}-3^2}+30\\\\
&=3(x+3)^2-3\cdot 3^2+30\\\\
&=3(x+3)^2+3
\end{align}$$


$$y=a(x-p)^2+q$$、この形にすることができたので2次関数の概形が分かります。

$$y=3x^2+18x+31$$

↓ 平方完成


$$y=3(x+3)^2+4$$

練習問題

$y=\frac{1}{2}x^2-x+3$の頂点を求めよ。
$$\begin{align} y&=\frac{1}{2}x^2-x+3\\\\ &=\frac{1}{2}(x^2-2x)+3\\\\ &=\frac{1}{2}\left\{(x-1)^2-1\right\}+3\\\\ &=\frac{1}{2}(x-1)^2-\frac{1}{2}+3\\\\ &=\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{5}{2} \end{align}$$
$y=\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{5}{2}$
より、頂点($1,\frac{5}{2}$)
   
$y=x^2+3x-2$の頂点を求めよ。
$$\begin{align} y&=x^2+3x-2\\\\ &=\left\{(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\right\}-2\\\\ &=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-2\\\\ &=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{17}{4} \end{align}$$
$y=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{17}{4}$
より、頂点($-\frac{3}{2},-\frac{17}{4}$)
   

まとめ

$x^2+ax$を

$(x+\frac{a}{2})^2-${余分な分$(a^2)$}

この形が平方完成。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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