【関数】2次関数の平行移動の説明&多くの人がなぜと思うところも解説

数学
$y=ax^2$(2次関数の頂点(0,0))
移動前の2次関数の方程式を、$y=ax^2$として、x方向にp、y方向にq移動した後の2次関数の方程式は、
$$y=a(x-p)^2+q$$
となります。

2次関数の平行移動

このようにもともとの2次関数(青)をx軸方向にp移動させ、y軸方向にq移動させたら、2次関数(赤)になります。

このように、2次関数を移動させた場合の方程式は以下のようになります。

移動前の2次関数の方程式を、$y=ax^2$として、x方向にp、y方向にq移動した後の2次関数の方程式は、
$$y=a(x-p)^2+q$$
となります。

具体例で2次関数の移動を使い方を説明

2次関数の平行移動は頂点だけを考えます。

青色の2次関数の方程式は、


$$y=x^2$$


で、赤色の2次関数の方程式は、x方向に3、y方向に2移動させているので、


$$y=(x-3)^2+2$$


となります。

練習問題

$y=2x^2$をx方向に-2、y方向に-1移動させたときの方程式を求めよ。
$a=2$,$p=-2$,$q=-1$となるので、$y=a(x-p)^2+q$に代入する。

$$y=2(x-(-2))^2+(-1)\\\\y=2(x+2)^2-1$$

$y=2(x+2)^2-1$
   
$y=-\frac{1}{2}x^2$をx方向に5移動させたときの方程式を求めよ。
$a=-\frac{1}{2}$,$p=5$,$q=0$となるので、$y=a(x-p)^2+q$に代入する。

$$y=-\frac{1}{2}(x-5)^2+0\\\\y=-\frac{1}{2}(x-5)^2$$

$y=-\frac{1}{2}(x-5)^2$
   

x方向の移動でマイナスになる理由

x方向にp移動したとき、$x^2$が$(x-p)^2$のように、マイナスqする理由を解説します。

2次関数の移動において、多くの人が疑問を持つところです。


具体例で、移動前の2次関数を$y=x^2$として、x方向に2移動した場合を考えます。

青色の2次関数の式は、$y=\textcolor{blue}{x}^2$です。

赤色の2次関数のx座標を、$\textcolor{red}{x}$とすると、$\textcolor{blue}{x}と\textcolor{red}{x}$の関係は、


$$\textcolor{red}{x}=\textcolor{blue}{x}+2$$


となります。2だけ平行移動したからと、適当に代入して$y=(\textcolor{blue}{x}+2)^2$としましょう。

もともとの$y=\textcolor{blue}{x}^2$を2だけ平行移動したものが$y=(\textcolor{blue}{x}+2)^2$としたが、これだけでは平行移動したはずなのにyの値が変わってしまいます。そこで、


$$y=\left\{(\textcolor{blue}{x}+2)\textcolor{blue}{-2}\right\}^2$$


こうすることで、$y=\textcolor{blue}{x}^2$のyの値と同じ値になりますね。ここで、$\textcolor{red}{x}=\textcolor{blue}{x}+2$を利用することで、


$$y=(\textcolor{red}{x}-2)^2$$


となります。これによって、p動かすとマイナスpするわけです。

今回は”2”動かすと”マイナス2”になっています。

追加の説明

上の説明を見ても分からないという方もいるかもしれません。曲線の移動は、本当に理解しずらい内容で、自分もめちゃくちゃ苦労しました。

上の説明で理解された方はこれは読まない方がいいかもしれません。

説明の都合上また具体例を用意します。x方向に”1″移動させた場合についてです。

$y=x^2$のグラフで、$x=2$であれば、$\textcolor{blue}{y=4}$になります。

ならばと、$x=3$で$\textcolor{blue}{y=4}$にしたいと考えます。しかし、このままでは、


$$y=x^2=3^2=9$$


となり、$y=4$にはなりません。なので、4にするために$-5$してみます。よって、$x=3$で$y=4$なら、$y=x^2-5$となりますね。

しかし、このやり方だと、他のxの値のときに成り立たなくなります。

たとえば、$y=x^2$のグラフで、$x=3$であれば、$\textcolor{blue}{y=9}$になります。

ならばと、$x=4$で$\textcolor{blue}{y=9}$にしたいと考えます。しかし、このままでは、


$$y=x^2=4^2=16$$


となり、$y=9$にはなりません。なので、4にするためには$-7$になってしまいますね。

なので、$y=x^2-5$以外の方法で$x=3$で$\textcolor{blue}{y=4}$にする方法を考えます。

ここで、「$y=x^2$のグラフで、$x=2$であれば、$\textcolor{blue}{y=4}$になる」ことを思い出すと、$x=3$を最初から$-1$して”$x=2$”にしてから$y=x^2$に代入すれば、当然$\textcolor{blue}{y=4}$にりますね。それを式にするだけです。


$$x=3を3-1=2\qquad(1)$$

$$y=(x)^2=2^2=4\qquad(2)$$


この2回の行動を、1つの式で表してあげたのが、


$$y=(x-1)^2$$


これになります。これならどんなxの値でも有効です。

まとめ

移動前の2次関数の方程式を、$y=ax^2$として、x方向にp、y方向にq移動した後の2次関数の方程式は、

$$y=a(x-p)^2+q$$

となります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

ロゴ

コメント

タイトルとURLをコピーしました