定積分の置換積分法での解き方

数学
不定積分での置換積分

定積分と不定積分の置換の違い

置換積分法の解き方(パターン5つ)
基本的な積分【基本】置換積分法のやり方$$\displaystyle \int_{}^{}\,f(g(x))g'(x)\,dx$$のような形になっている場合に、$t=g(x)\,$とおき、両辺xで微分する...

定積分の置換積分も大体が不定積分でのやり方と同じです。

しかし、不定積分では置換して積分した後、もとのアルファベットに戻す必要がありました。

でも、定積分ではもとのアルファベットに戻す必要がなく答えを求めることができます。

ただし、そのためには対応表が必要となります。

定積分の置換に必要な対応表の書き方

対応表とは積分区間のことです。

$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)dx$$

$$\displaystyle \int_{α}^{β}\,g(t)dt$$

このような風にxの積分から他のアルファベットtに替えることを置換積分といい、

その際、範囲が$\displaystyle \int_{a}^{b}\quad →\quad \displaystyle \int_{α}^{β}\,$となります。

この積分区間の変化を以下のように対応表にします。

$$\begin{array}{c|ccc} x&a&→&b \\ \hline t&α&→&β\end{array}$$

置換するときに$\,t=2t+1\,$とおき、積分範囲が$\,\begin{array}{c|ccc} x&1&→&3\end{array}\,$であれば、

$t=2\cdot 1-2=0\,,\quad t=2\cdot 3-2=4\,$となるので、

$$\begin{array}{c|ccc} x&1&→&3 \\ \hline t&0&→&4 \end{array}$$

よって、$\displaystyle \int_{1}^{3}\quad →\quad \displaystyle \int_{0}^{4}$

定積分の置換積分の解き方

$t=g(x)\,$で、$α=g(a),\quad β=g(b)\,$のとき、

$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle \int_{α}^{β}\,f(t)dt$$

(※$\frac{dt}{dx}=g'(x)\,$を使っています。)

例題

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{2}}\,sin^3x\,cos\,x\,dx$$

$t=sin\,x\,$とおくと、$\frac{dt}{dx}=cos\,x\,$より、$dt=cos\,x\,dx\,$

次に、積分範囲を求めます。xの範囲は$\,0→\frac{π}{2}\,$なので、それぞれを代入して、

$$t=sin\,\textcolor{blue}{0}\,=0,\quad t=sin\,\textcolor{blue}{\frac{π}{2}}\,=1$$

よって、対応表は、
$\begin{array}{c|ccc} x&0&→&\frac{π}{2} \\ \hline t&0&→&1 \end{array}$

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{2}}\,sin^3x\,cos\,x\,dx&=\displaystyle \int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{red}{1}}\,t^3\,dt\\
&=\left[\frac{1}{4}t^{4}\right]_{0}^{1}\\
&=\frac{1}{4}-0\\
&=\frac{1}{4}
\end{align}$$

$$\frac{1}{4}$$

例題2

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{-1}^{2}\,(x-2)\sqrt{x+2}\,dx$$

$t=x+2\,$とおくと、$x=t-2\,$
よって、$\frac{dx}{dt}=1\,$より、$dx=dt\,$

また、対応表を作ると
$\begin{array}{c|ccc} x&-1&→&2 \\ \hline t&1&→&4 \end{array}$

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{-1}^{2}\,(x-2)\sqrt{x+2}\,dx&=\displaystyle \int_{1}^{4}\,(t-4)\sqrt{t}\,dt\\
&=\displaystyle \int_{1}^{4}\,\left(t^{\frac{3}{2}}-4t^{\frac{1}{2}}\right)\,dt\\
&=\left[\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}-4\cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{4}\\
&=\frac{2}{5}-\frac{8}{3}-\left(\frac{64}{5}-\frac{64}{3}\right)\\
&=\frac{94}{15}
\end{align}$$

$$\frac{94}{15}$$

練習問題

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{0}^{π}\,\frac{sin\,x}{cos\,x\,+2}\,dx$$
$t=cos\,x\,$とおくと、$\frac{dt}{dx}=-sin\,x\,$より、$-dt=sin\,x\,dx\,$

対応表は、
$\begin{array}{c|ccc} x&0&→&π \\ \hline t&1&→&-1 \end{array}$

$$\begin{align} \displaystyle \int_{0}^{π}\,\frac{sin\,x}{cos\,x\,+2}\,dx &=\displaystyle \int_{1}^{-1}\,-\frac{1}{t+2}\,dt\\ &=\left[-log\,|t+2|\right]_{1}^{-1}\\ &=-log\,3-(-log\,4)\\ &=log\,\frac{4}{3} \end{align}$$
$$log\,\frac{4}{3}$$
   
次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{e}^{e^e}\,\frac{1}{x\,log\,x}\,dx$$
$t=log\,x\,$とおくと、$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\,$より、$dt=\frac{1}{x}dx\,$

対応表は、
$\begin{array}{c|ccc} x&e&→&e^e \\ \hline t&1&→&e \end{array}$

$$\begin{align} \displaystyle \int_{e}^{e^e}\,\frac{1}{x\,log\,x}\,dx &=\displaystyle \int_{1}^{e}\,\frac{1}{t}\,dt\\ &=\left[log\,|t|\right]_{1}^{e}\\ &=log\,e-log\,1\\ &=1 \end{align}$$
$$1$$
   

まとめ

定積分で置換積分法を使うときには積分範囲も変えるようにしましょう。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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