積の微分と商の微分の公式と証明(例題あり)

数学
$y=x^n\,$の微分は、$y’=nx^{n-1}$
積の微分
$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

商の微分
$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$
特に
$\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}’=-\frac{g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$

積の微分

次の関数を微分せよ。
$$y=(x^3+2x+2)(x^2+1)$$

この例題は、$f(x)=x^3+2x+2\,,\,g(x)=x^2+1\,$の積になっています。このような積の形の関数の微分は、次の公式を使って求めることができます。


$$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\quad \cdots (1)$$


よって、例題の$\,f'(x)\,,\,g'(x)\,$を求めます。$f(x)=x^3+2x+2\,,\,g(x)=x^2+1\,$の2つをそれぞれ微分します。

$$f'(x)=3x^2+2\\g'(x)=2x$$

$(1)\,$に、$f(x)\,,\,g(x)\,,\,f'(x)\,,\,g'(x)\,$の4つを代入します。

$$\begin{align}
\left\{f(x)g(x)\right\}’&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\
&=(3x^2+2)(x^2+1)+(x^3+2x+2)(2x)\\
&=3x^4+5x^2+2+2x^4+4x^2+4x\\
&=5x^4+9x^2+4x+2
\end{align}$$

$y’=5x^4+9x^2+4x+2$
先に展開してから微分することで同じ答えを求めることができます。

$$\begin{align} y&=(x^3+2x+2)(x^2+1)\\ &=x^5+3x^3+2x+2x^2+2\\ &\quad\quad↓\quad 微分\\ y’&=5x^4+9x^2+4x \end{align}$$

積の微分の導出(証明)

2つの関数$\,f(x)\,$と$\,g(x)\,$は微分可能で連続とする。

$y=f(x)g(x)\,$とし、$Δx=h\,$に対する$\,y\,$の増加分を$\,Δy\,$とすれば、

$$\scriptsize{\begin{align}
Δy&=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\\
&=f(x+h)g(x+h)\textcolor{red}{-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)\\
&=\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x+h)+f(x)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}
\end{align}}$$

よって、

$$\scriptsize{\begin{align}
\frac{Δy}{Δx}&=\frac{\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x+h)+f(x)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}}{h}\\
&=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\end{align}}$$

ここで、$g(x+h)\,$についてで、$\displaystyle\lim_{h→0}g(x+h)=g(x)\,$となる。

また、$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)\,,$ $\,\displaystyle\lim_{h→0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)$

よって、

$$y’=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

以上、$y=f(x)g(x)\,$より当然に

$$\textcolor{blue}{\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$

となる。

商の微分

次の関数を微分せよ。
$$y=\frac{x^2+3x-1}{x+2}$$

この例題は、$f(x)=x^2+3x-1\,,\,g(x)=x+2\,$の商になっています。このような商の形の関数の微分は、次の公式を使って求めることができます。


$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}\quad \cdots (1)$$


よって、例題の$\,f'(x)\,,\,g'(x)\,$を求めます。$f(x)=x^2+3x-1\,,\,g(x)=x+2\,$の2つをそれぞれ微分します。

$$f'(x)=2x+3\\g'(x)=1$$

$(1)\,$に、$f(x)\,,\,g(x)\,,\,f'(x)\,,\,g'(x)\,$の4つを代入します。

$$\begin{align}
\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}\\
&=\frac{(2x+3)(x+2)-(x^2+3x-1)\cdot 1}{(x+2)^2}\\
&=\frac{2x^2+7x+6-x^2-3x+1}{(x+2)^2}\\
&=\frac{x^2+4x+7}{(x+2)^2}
\end{align}$$

$y’=\frac{x^2+4x+7}{(x+2)^2}$

商の微分の導出(証明)

$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}\,$を証明するために、まずは、$\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}’=-\frac{g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}\,$を証明します。

2つの関数$\,f(x)\,$と$\,g(x)\,$は微分可能で連続とする。

$y=\frac{1}{g(x)}\,$とし、$Δx=h\,$に対する$\,y\,$の増加分を$\,Δy\,$とすれば、

$$\scriptsize{\begin{align}
Δy&=\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\\
&=\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x+h)g(x)}
\end{align}}$$

よって、

$$\scriptsize{\begin{align}
\frac{Δy}{Δx}&=\frac{\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x+h)g(x)}}{h}\\
&=-\frac{1}{g(x+h)g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\end{align}}$$

ここで、$g(x+h)\,$についてで、$\displaystyle\lim_{x→0}g(x+h)=g(x)\,$となる。

また、$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)$

よって、

$$y’=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}=-\frac{g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$$

と、ここまで$\textcolor{blue}{\,\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}’=-\frac{g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}\,}$の証明が完了しました。

ここで、積の微分を利用します。

$$\scriptsize{\begin{align}
\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’&=\left\{f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right\}’\\
&=f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}\\
&=f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \left(-\frac{g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}\right)\\
&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}
\end{align}}$$

以上で、

$$\textcolor{blue}{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}}$$

となる。

練習問題

次の関数を微分せよ。
$$y=(x^2-4x+1)(x-3)$$
$f(x)=x^2-4x+1\,,\,g(x)=x-3\,$の積の形になっているので積の微分の公式を利用することで解けます。

$$\begin{align} y’&=(2x-4)(x-3)+(x^2-4x+1)\cdot 1\\ &=2x^2-10x+12+x^2-4x+1\\ &=3x^2-14x+13 \end{align}$$
$y’=3x^2-14x+13$
   
次の関数を微分せよ。
$$y=(x^4+x^3)(x^2+x+1)$$
$f(x)=x^4+x^3\,,\,g(x)=x^2+x+1\,$の積の形になっているので積の微分の公式を利用することで解けます。

$$\begin{align} y’&=(4x^3+3x^2)(x^2+x+1)+(x^4+x^3)(2x+1)\\ &=4x^5+7x^4+7x^3+3x^2+2x^5+3x^4+x^3\\ &=6x^5+10x^4+8x^3+3x^2 \end{align}$$
$y’=6x^5+10x^4+8x^3+3x^2$
   
次の関数を微分せよ。
$$y=\frac{x}{x^2-3x-1}$$
$f(x)=x\,,\,g(x)=x^2-3x-1\,$の商の形になっているので商の微分の公式を利用することで解けます。

$$\begin{align} y’&=\frac{1\cdot (x^2-3x-1)-x\cdot (2x-3)}{(x^2-3x-1)^2}\\ &=\frac{x^2-3x-1-2x^2+3x}{(x^2-3x-1)^2}\\ &=\frac{-x^2-1}{(x^2-3x-1)^2} \end{align}$$
$y’=\frac{-x^2-1}{(x^2-3x-1)^2}$
   
次の関数を微分せよ。
$$y=\frac{1}{x^3+1}$$
$f(x)=1\,,\,g(x)=x^3+1\,$の商の形(”特に”の方)になっているので商の微分の公式を利用することで解けます。

$$y’=-\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}$$
$y’=-\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}$
   

まとめ

積の微分と商の微分の公式の2つは覚えておくと計算が早くなります。

積の微分
$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

商の微分
$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$
特に
$\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}’=-\frac{g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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