【たった1つ覚えるのみ】確率が得意になる、PとCの違い、実際は使わなくて解ける

数学
特になし
数学記号について
  • $P\cdots$順列の計算で用いる
  • $C\cdots$組み合わせの計算で用いる

数学記号ではありますが、自分は確率などの問題を解くときにほとんど使いませんし、このページでは、PやCを使用しない解き方を主に説明していきます。

暗記量が少なくなります。

何通り問題、確率問題は1つ覚えれば解ける

常に何通りあるかを考え、基本的にかけ算をする。

覚えておけばいいことは、これだけですが短い言葉のみで伝えるのは無理なので実際に問題を使って説明します。

場合の数(通り数)を求める【$P$や$C$の説明】

場合の数とは、ある事柄が何通り起こる可能性があるかということです。

分かりにくいので個人的に「通り数」と言ったりしています。(数学用語では全くありませんが、これを使用していきます。)

$P$を使うような順列問題の例

1~5までが書かれたカードの計5枚のうち3枚のカードを使用して作れる3桁の整数は何通りあるか求めよ。

このような問題があったとき、カードの並べ方を考えます。じゃあ、百の位から考えてみます。

百の位に置くことのできる数字は全部で何通りありますか?

簡単ですね。1~5までのすべてのカードが置かれる可能性があるので全部で5通りです。

次に10の位を考えます。

これも簡単ですね。100の位ですでにに何かしらのカードを1枚使っているので、10の位に置くことができるのは4通りです。

最後に、1の位も同じように考えます。

100の位と10の位で1枚ずつ使っているので1の位に置くことができるのは3通りです。

そして、最終的に求める全部の通り数(場合の数)は、それらをかけ算した


$$5\cdot 4\cdot 3=60通り$$


60通り
上の一連の計算が全てです。

これからの説明もすべて、上の計算に基づいていきます。
上の解き方がいわゆる$P$の解き方です。

$${}_5P_3=5\cdot 4\cdot 3=60$$

5から3までをかけ算するって意味ですね。

$C$を使うような組み合わせ問題の例

数字が書いてある10個の箱から3つを取り出す組み合わせは何通りあるか求めよ。

問題では3つの箱を取り出すだけですが、今回は分かりやすくするため、選んだ箱にボールを入れることを考えます。

まずは、1~3の入れる順番の書かれたボールを入れていくときの通り数を求めます。

1番目のボールは10箱全部に入れられるので、10通りです。

2番目のボールは1の入った箱以外の9箱に入れられるので、9通りです。

3番目のボールは1、2の入った箱以外の8箱に入れられるので、8通りです。

よって、すべての通り数はそれらをかけ算して、


$$10\times 9\times 8=720通り$$


ここまで計算しましたが、実際にはボールに数字は書いていないので、下のような2つは同じということになってしまいます。

このようなことがまだまだ起きるので、720通りが答えではなく少し減ります。

重複がどのくらいあるか計算します。

例えば、適当に3箱(2番、7番、9番)を選ぶとします。そうすると、番号付きボールの入れ方は6通りになります。

これを計算で求めます。

「3つの箱に順番の書かれたボールを3つそれぞれに入れるとき何通りになりますか?」

1番目のボールは3箱どれでも入れられるので、3通りです。

2番目のボールは1の入った箱以外の2箱に入れられるので、2通りです。

3番目のボールは残った箱に入れるので、1通りです。

よって、通り数は、


$$3\times 2\times 1=6通り$$


ここで考えることは、この計算方法であれば別に箱がどれでもいいということです。

どんな組み合わせの3箱であっても番号付きボールの入れ方は6通りになります。

よって、3箱を選ぶと必ず6通りの重複があることになります。

そうなると数えるのはそのうちの1つで十分ですね。5個邪魔です。

数字を減らす計算方法は2通り。

  • 引き算をする
  • 割り算をする

(足し算とかけ算でも減らすことはできますが屁理屈ぽいので無しで。)

引き算をする方法から考えます。

720通りから重複を減らした結果の本当の答えをxとします。

よって、重複したいらない個数は、5x通りになります。よって、


$$720-5x=x$$


これをxについて解きます。


$$720=6x\\\\\\
\frac{720}{6}=x$$


割り算をする方法を考えます。(上のがすでに割り算・・・になった・・・)

6を1にするには、÷6をすれば1にすることができます。

x通りすべてで6通りの重複があるので、720を少し書き換えると、6xになります。よって、


$$6x\div 6=\frac{6x}{6}=x$$


答えのxが計算できました。6xを720に戻したのを見てみます。


$$\frac{720}{6}=x$$


どちらでやっても最終的に、

$$\frac{720}{6}$$

となったので120通り。
ここまで見てもらい場合の数の計算方法は、

何通りあるかを考え、基本的にかけ算をするだけだと知ってもらえたでしょうか。
上の解き方がいわゆる$C$の解き方です。

$${}_{10}C_3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

10から3つをかけ算して、3から1までのかけ算を割るという意味です。

確率の求め方

$$\mathrm{確率=\frac{調べたいものの通り数}{起こりうるすべての通り数}}$$

正直確率はやらなくていいです。というのも場合の数(通り数)の求め方ができていればちょー簡単だからです。なので1問だけ紹介します。

1,1,1,2,3,4が書かれた6枚のカードを並べてできる6桁の整数のうち偶数になる確率は?

起こりうるすべての通り数

$$6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720通り$$


次に重複を考えます。

1が3枚あるので、112341がいくつも出てくることになります。

よって、重複数を求めます。3枚なので、


$$3\times 2\times 1=6通り$$


最終的に”起こりうるすべての通り数”は、


$$\frac{720}{6}=120通り$$


調べたいものの通り数

今回は偶数になる通り数です。

偶数になるのは、1の位が2か4のときです。

まず、1の位から考えます。

1の位には、2か4を入れるので、2通り。

10万の位はいま使っているので、5通り。(まあ、あとはいつも通り)4通り、3通り、2通り、1通り。


$$2\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=240通り$$


重複を考えます。1が3枚なので6通りの重複が起こります。よって、偶数になる通り数は、


$$\frac{240}{6}=40通り$$


確率を計算する

$$\mathrm{確率=\frac{調べたいものの通り数}{起こりうるすべての通り数}}$$

なので、


$$\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$$


$$\frac{1}{3}$$

確率は他のページでいろいろな問題を解いて載せていきます。

練習問題

1,1,2,2,2の5枚で5桁の整数を作る。何通りか求めよ。
一万の位から、5通り、4通り、3通り、2通り、1通りで、

$$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120通り$$

重複について考える。

1のカードが2枚あるので、1による重複は、

$$2\times 1=2通り$$

よって、

$$\frac{120}{2}=60通り$$

2のカードが3枚あるので、2による重複は、

$$3\times 2\times 1=6通り$$

よって、

$$\frac{60}{6}=10通り$$

10通り
今回重複による割り算を2段階で行いましたが、実際には下のように行う。

$$\frac{120}{2\times 6}=10$$

   
下のような図で、AからBに向かうのに最短距離を考える。最短距離のルートは何通りになるか求めよ。
ゲームなどのスティックを考えてもらい、上キーを合計4回、右キーを合計5回入力すればどんな道筋でもAからBの最短距離になります。

なので、考え方としては、上,上,上,上,右,右,右,右,右の書かれたカード9枚の順番を考える。

よって、1番目から、9通り、8通り、7通り・・・2通り、1通りで、

$$9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=362880通り$$

重複について考える。

上が4枚あるので、

$$4\times 3\times 2\times 1=24通り$$

右が5枚あるので、

$$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120通り$$

よって、

$$\frac{362880}{24\times 120}=126通り$$

126通り
   

まとめ

それが起きるのは何通りか考え、基本的にはかけ算をするだけです。

基本的にはと言ったのは場合分けをすると足し算も使うからです。

でも、今回やったことをしっかり行えば余裕で解けます。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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