【関数】台形の面積を半分にする解き方、等積変形が有効

数学
(1)台形の面積の公式 

(2)1次関数の交点の求め方や方程式の求め方

台形の面積を2等分する

  1. 実際に面積を求めて2等分にする。
  2. 等積変形を使って求める。

それぞれ、具体例を挙げながら説明していきます。

実際に面積を求めて2等分にする

これは、とても正攻法なやり方です。

赤い点を通り台形を2等分するときの、直線の方程式を求めよ。

こんな問題があったとしたら、まずは普通に台形の面積を求めます。


$$(4+5)\times 4\div2=18$$


台形の面積が18なので、2等分にしたら片側が9になればいいと分かります。

面積が9になるのがどういった場合かを考えていきます。

まずは、目安を決めるために対角線を引いてみて、それぞれの面積を求めて見ます。

面積が10と8に分かれました。これでは、半分ではありませんので、次に線をどっち側に動かせばいいかを考えます。

まあ、これは単純で、大きい面積をもう少し小さくしたいので、面積10を小さくするために左側に動かしていきます。

そうしたら、三角形になっている☆マークの付いた方を考えます。

☆マークのエリアの面積は、

$$底辺\times 4(高さ)\div 2$$

となります。

この式が、イコール9になればいいので、


$$底辺\times 4(高さ)\div 2=9\\\\底辺=\frac{9}{2}$$


面積を2等分にする線が通る2点(0,4),($\frac{9}{2}$,0)が分かったので、方程式を求めます。

(0,4)より、$y=ax+4$で($\frac{9}{2}$,0)を代入して、


$$0=\frac{9}{2}a+4$$

$$a=-\frac{8}{9}$$


$y=-\frac{8}{9}x+4$

正攻法での解き方でした。

等積変形を使って求める

等積変形を使って三角形にして、面積を半分にして直線の方程式を解くやり方です。

三角形の面積を半分にする方法を知っていることが前提になりますが、それさえ分かっていれば汎用性が高いやり方です。

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赤い点を通り台形を2等分するときの、直線の方程式を求めよ。

さっきと同じ問題です。

道筋としては、

こうして、

こうします。

等積変形

底辺の長さが一緒で高さも一緒であれば、同じ大きさの面積になるというものです。

これにより上の画像のように、底辺が共通で、底辺に対して平行に引いた線の上に頂点があれば、高さが同じになり面積も同じになります。

実際に問題を解く

問題に戻り、まず問題の赤点から対角線に伸ばした線の方程式を求めます。


$$y=-\frac{4}{5}x+4$$


になりました。次に、それと平行に(4,4)を通るような線の方程式を求めます。

平行な線というのは、つまり、傾きが同じであるということで、$y=ax+b$のaの値が同じになるということです。よって、

$y=-\frac{4}{5}x+b$に(4,4)を代入して、$b=\frac{36}{5}$


$$y=-\frac{4}{5}x+\frac{36}{5}$$


等積変形により、台形から三角形に形を変えます。

それぞれの☆マークの大きさは同じなので、全体で見た時、それぞれの緑色の部分の面積は同じになります。

ここで三角形の方を2等分にします。(底辺を2等分にするだけです。)

$$y=-\frac{4}{5}x+\frac{36}{5}$$


より、x座標との交点は、(9,0)となり、(0,0)との中点は、

($\frac{9}{2}$,0)になる。

よって、直線の方程式を求めることができるようになります。正攻法で解いた答えと同じになります。

$y=-\frac{8}{9}x+4$

補足(もとに戻す)

♣マークの部分は、緑色全体の半分の面積です。

元に戻しても、緑色の半分であることに変わりありません。

等積変形で解く利点

台形の時も等積変形で解けますが、等積変形を真に使えるのは、面積が出しにくい問題の時です。

台形であれば、さほど苦労せずに面積を求めること出来るので、正攻法で解いていけばいいですが、下のような図形の時は、すぐには面積を求めることができません。

面積を求められない時に、赤い点を通り2等分にする問題とかなら等積変形をする方が楽に解くことができるようになります。

練習問題に、そのような問題を用意しています。

ぜひ解いてみてください。

練習問題

赤い点を通り、台形を2等分する直線の方程式を求めよ。
まず、台形の面積を求める。

$$(3+5)\times 2\div 2=8$$

2等分にしたら、片側の面積は8の半分で、4になる。
赤点から対角線を引いて線の下に来る三角形の面積を求めると、

$$2\times 5\div 2=5$$

となり、4よりも大きくなってしまう。よって、線の傾きをもう少し下げ、下の三角形が小さくなるようにする。下の三角形は、面積が4になるので、

$$2(底辺)\times 高さ\div 2=4$$ $$高さ=4$$

最後に、(0,0)と(2,4)の通る直線の式を求めればいい。
$y=2x$
   
赤い点を通り、四角形を2等分する直線の方程式を求めよ。
赤点と対角にある点を結んだ線の方程式は、

$$y=-x+5$$

これに平行に、(4,3)を通る方程式の傾きは、-1なので、

$$y=-x+b$$

これに、(4,3)を代入して、方程式を求めて、

$$y=-x+7$$

等積変形をして、三角形にすることで底辺を2等分すればよくなった。(0,0)と(7,0)の中点は、($\frac{7}{2}$,0)より、
($\frac{7}{2}$,0)と(1,4)の方程式を求める。

$$\frac{4-0}{1-\frac{7}{2}}=-\frac{8}{5}\\\\4=-\frac{8}{5}\times 1+b\\\\b=\frac{28}{5}$$
$y=-\frac{8}{5}x+\frac{28}{5}$
   

まとめ

関数における等積変形を行うには傾きが同じ線2本が必要。

等積変形を行って四角形を三角形にして、2等分にするやり方。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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