【関数】平行四辺形の面積を2等分にするにはやることは1つのみ(簡単)

数学
(1)中点の求め方
(1,2)と(3,4)の中点なら、
$\frac{1+3}{2}=2,\frac{2+4}{2}=3$中点(2,3)

(2)交点の求め方  (3)直線の求め方

平行四辺形を2等分する

対角線の交点を通る線は平行四辺形を2等分にする。

これさえ理解していれば問題を解くことができます。

直線の方程式は2つの点の座標が分かっていれば求めることができるのは、理解していると思います。

対角線の交点の座標の求め方が分かり、あと1点分かっていることで簡単に求めることができます。

赤い点を通り平行四辺形を2等分するときの、直線の方程式を求めよ。

ここからは具体例を使って説明します。

対角線の交点と1点(赤点)の座標が分かればよく、残りは対角線の交点を求める。

対角線の交点の求め方(2種類)

  1. 頂点と頂点の中点
  2. 直線と直線の交点

頂点と頂点の中点

平行四辺形の対角線の交点は、対角線の中点になっています。

これにより、求めていきます。

問題の対角にある頂点を持ってきます。

(0,3)と(6,7)か、もしくは、(2,7)と(4,3)になります。どちらか片方でいいので今回は前者を使用します。


$$(x座標)\quad\frac{0+6}{2}=3$$

$$(y座標)\quad\frac{3+7}{2}=5$$


(0,3)と(6,7)の中点は、(3,5)になります。

あとは、2点を結んだ方程式を求めます。


$$\frac{5-1}{3-4}=-4\\\\y=-4x+bに(4,1)を代入、\\\\b=17$$


$y=-4x+17$

直線と直線の交点

対角に結んだ2本の直線の方程式はすでに求めたとします。

この2本の交点が、平行四辺形の対角線の交点です。

計算します。


$$\frac{2}{3}x+3=-2x+11\\x=3$$


よって、どちらかの直線の式に代入して、


$$y=5$$


平行四辺形の対角線の交点が、(3,5)と分かります。

後は、同じなので省略して、

$y=-4x+17$

平行四辺形と同じようにできる四角形

対角線の交点を求めて面積を半分にする直線の方程式を解く方法ですが、平行四辺形以外の四角形でも使えるものはあります。

どれも、平行四辺形といえる四角形です。

台形を2等分する

台形に関する2等分の解き方は別ページにあります。

【関数】台形の面積を半分にする解き方、等積変形が有効
(1)台形の面積の公式 (2)1次関数の交点の求め方や方程式の求め方台形の面積を2等分する実際に面積を求めて2等分にする。等積変形を使って求める。それぞれ、具体例を挙げながら説明していきます...

練習問題

赤い点を通り平行四辺形を2等分にする直線の方程式を求めよ。
(0,3)と(1,7)の中点を求める。

$$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$$ $$y=\frac{3+7}{2}=5$$

中点($\frac{1}{2},5$)と(−3,0)の方程式を求める。

$$a=\frac{5-0}{\frac{1}{2}-(-3)}=\frac{10}{7}$$ $$y=\frac{10}{7}x+b\quad に、(-3,0)を代入して、$$ $$b=\frac{30}{7}$$
$y=\frac{10}{7}x+\frac{30}{7}$
   
赤い点を通り長方形を2等分にする直線の方程式を求めよ。
(−1,3)と(3,5)の中点を求める。

$$x=\frac{−1+3}{2}=1$$ $$y=\frac{3+5}{2}=4$$

中点(1,4)と(0,3)の方程式を求める。

$$(0,3)よりb=3$$ $$y=ax+3\quad に、(1,4)を代入して、$$ $$a=1$$
$y=x+3$
   

まとめ

平行四辺形は対角線の交点を求め、交点を通ることで、2等分にできます。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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