【関数】1次関数で三角形の面積を2等分にする方法(頂点通過と辺通過の2種類)

数学
1次関数の公式($y=ax+b$)が何を表しているかということ

三角形のいずれかの頂点を通り2等分する

三角形を2等分する問題の例題です。

上の画像には、3本の直線で囲まれた三角形が存在していて、その三角形の面積を赤い点を通る線で2等分してくださいという問題です。

こんな感じに2等分すればいいです。

そして、①と②の面積が同じになるときの赤い線の方程式を求めていきます。(y=ax+bのaとbを求める。)

まず、三角形の面積を求める公式を見ておいてください。

回転して、三角形の底辺を下に来るようにしました。

次に①と②を分けて考えます。

➀と②を引きはがしたので、それぞれの面積を公式を使用して表してみます。

①の面積=底辺①×高さ÷2
②の面積=底辺②×高さ÷2

この時に重要なのは①と②の高さが同じ長さだということです。

高さ÷2の数値が同じになるということは、底辺が同じ長さになれば面積も同じになります。

よって、底辺を2等分すれば面積が等しくなると分かりました。

最初の図に戻り、底辺である赤い丸と赤い丸までの線を2等分にします。(交点はすでに出しています。交点の出し方が知りたい方は練習問題を見ていただくと良いと思います。)

2等分の仕方は簡単で、両端の2つの点のx座標とy座標でそれぞれ真ん中を調べます。

x座標の場合
1と3の中心は、2

y座標の場合
3と−3の中心は、0

よって、赤い点の中心の底辺を2等分にする座標は(2,0)と分かりました。

最後に問題の答えである直線の方程式を解きます。(−1,−1)と(2,0)の2点を通る点なので、

$$\frac{-1-0}{-1-2}=\frac{1}{3}$$

よって、$y=\frac{1}{3}x+b$になり、あとはbのみ。

(2,0)を代入して、

$$0=\frac{1}{3}\times 2+b\\b=-\frac{2}{3}$$

$y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$

三角形の頂点は3つあり今回例に挙げたのはそのうちの1つです。

他2つでも同じようにできます。

三角形の辺の一点を通って2等分にする

頂点を通る場合と同じ図を使って説明します。

$(0,-\frac{3}{2})$を通り、2等分にする直線の方程式を求めよ。

こんな問題が考えられます。

方針として、このような場合は面積を実際に求めてそれを半分にして解く解き方が簡単です。

三角形の面積=10

解き方は別ページにあります。

【関数】1次関数の2直線の交点の求め方、三角形の面積の求め方
1次関数の公式($y=ax+b$)が何を表しているかということ交点2本の直線が平行じゃなければ、必ず交わります。座標平面上ではその点を交点とし、位置を座標で表すことで他の種類の問題も多く解けるようになれ...

半分の面積なので

$10÷2=5$ 

2分割した時の片方の面積が、”5”になるような場合を考えていけばOKです。

まず、おおざっぱな分解を考えます。

上の画像がそうですが、赤い点を通る分解には2種類存在しています。

$y=2x+1$を通過するオレンジ色の直線と
$y=-3x+6$を通過する水色の直線です。

オレンジの方だと、左右のバランスが均等にならないと思いますよね。なので、水色の線の方が正解に近いと考えます。(このくらいおおざっぱでいいです。)

改めて水色の線で分けると、三角形になっている方と四角形になっている方ができました。

三角形の方の面積を考え、三角形の面積が”5”になるのはどういった場合か計算していきます。

面積=底辺×横幅÷2

2本の赤線の長さを考え、

横幅の長さはすぐに、”$3$”だと分かります。

よって、

$$5=底辺\times 3\div2\\
底辺=\frac{10}{3}$$

となり、底辺(縦赤線)は$\frac{10}{3}$と分かります。

次に、赤線の上下の点の座標を、x座標をtとして表します。

これで、tを使用して線の長さを表すことができます。

$$-3t+6-(-\frac{1}{2}t-\frac{3}{2})=赤線の長さ\\
-\frac{5}{2}t+\frac{15}{2}=赤線の長さ$$

また、さっき赤線の長さは$\frac{10}{3}$と出しているので、

$$-\frac{5}{2}t+\frac{15}{2}=\frac{10}{3}\\
3t=9-4\\
t=\frac{5}{3}$$

tの値が分かりました。そしたら、上の赤い点の座標は$(\frac{5}{3},1)$と分かります。

最後に直線の方程式を求めますが、切片は、($0,-\frac{3}{2}$)なので、

$$y=ax-\frac{3}{2}$$

これに、$(\frac{5}{3},1)$を代入して、

$$1=a\times\frac{5}{3}+-\frac{3}{2}\\
a=\frac{3}{2}$$

$y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$

辺の他の部分を通るようにしなさいとなった場合でも、今回のように横幅がすでに確定している、もしくは、高さが確定しています。

ここで大事なのは大きい三角形の面積を実際に求めてから解く方法もあるということです。

練習問題

毎ページ2,3問は用意するつもりです。

三角形ABCの面積を(−3,0)を通る直線で2等分した時の直線の方程式を求めよ。
頂点を通り2等分にするので、向かい側の辺の中心を通るようにする。

$y=x+3$と$y=-x+5$の交点と$y=-x+5$とx軸との交点をそれぞれ求める。
$$x+3=-x+5\\2x=2\\x=1\\代入して、y=4$$ (1,4)

$$y=-x+5にy=0を代入して、\\x=5$$ (5,0)

(1,4)と(5,0)の中心を求める。
1と5の中心は3。4と0の中心は2。
中心(3,2)

よって、(−3,0)と(3,2)の方程式を求める。 $$\frac{0-3}{-3-2}=\frac{3}{5}\\y=\frac{3}{5}x+bに(−3,0)を代入して、\\b=\frac{9}{5}$$
$y=\frac{3}{5}x+\frac{9}{5}$
   
三角形ABCの面積を(0,0)を通る直線で2等分した時の直線の方程式を求めよ。
面積を求める。 A,B,Cの座標は、(1,4)(−3,0)(5,0)より、
$$8\times4\div2=16$$ 辺を通り2等分にするので、おおざっぱに考える。

$y=x+3$と$y=-x+5$なら答えの直線は$y=-x+5$を通過すると予想する。
右下の小さい三角形を考える。この三角形の面積は16の半分の8になる。
横幅は5なので、y座標の高さを考える。$y=-x+5$上の直線が通過する点のx座標をtと置く。
よって、その座標は、(t,-t+5)
$$8=(-t+5)\times 5\div2\\t=\frac{9}{5}$$ よって、($\frac{9}{5},\frac{16}{5}$)を通る。
切片は0なので、 $$\frac{16}{5}=a\times \frac{9}{5}+0\\a=\frac{16}{9}$$
$y=\frac{16}{9}x$
   

まとめ

頂点を通り2等分にする場合は、底辺を2等分すれば面積も2等分される。

辺を通る場合は、実際に面積を求めて半分の大きさにして、分からない場所を文字で置く。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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