【関数】1次関数の2直線の交点の求め方、三角形の面積の求め方

数学
1次関数の公式($y=ax+b$)が何を表しているかということ

交点

2本の直線が平行じゃなければ、必ず交わります。

座標平面上ではその点を交点とし、位置を座標で表すことで他の種類の問題も多く解けるようになれます。

さっそく例題で見ていきます。

少し遠回りにはなりますが、仕組みを説明します。

交点の座標をたとえば($s$,$t$)としたとします。

まず、($s$,$t$)は、$y=2x+1$上に存在しているので、代入して、$t=2s+1$が成り立ちます。

($s$,$t$)=($-1$,$-1$)や($2$,$5$)など

無数にあります。

次に、($s$,$t$)は、$y=-3x+6$上に存在しているので、代入して、$t=-3s+6$が成り立ちます。

($s$,$t$)=($2$,$0$)や($0$,$6$)など

無数にあります。

そして、今回求めるべき交点というのは、その両方を成立させる点のことです。

なので、
$t=2s+1\qquad t=-3s+6$
の$s$と$t$は、同じ値が入ります。

よって、

$2s+1=t=-3s+6$

$t$を排除して、

$\begin{eqnarray}
2s+1&=&-3s+6\\\\
5s&=&5\\\\
s&=&1
\end{eqnarray}$

$t=2s+1$と$t=-3s+6$のどちらかに$s=1$を代入して、

$\qquad t=3$

よって、交点の座標は、($s$,$t$)=($1$,$3$)となる。

図を見ても、赤い点(交点)があるのは、($1$,$3$)で同じになりますね。

正式な途中式

わざわざ、交点の座標を($s$,$t$)と置く必要は実際ありません。

$y=2x+1\quad,y=-3x+6$の交点を求めよ。

($s$,$t$)に置き換えず、($x$,$y$)でそのまま計算していきます。

$$2x+1=y=-3x+6\quadより$$

$$\begin{eqnarray}
2x+1&=&-3x+6\\\\
5x&=&5\\\\
x&=&1\\\\代入して、
y&=&3
\end{eqnarray}$$

$(x,y)=(1,3)$

座標と三角形の面積

こんな感じで直線が3本あり、三角形ができていた場合に面積を求める問題があります。

三角形の面積の公式はこれだと習ってきましたが、座標内にある三角形はどこが底辺でどこが高さか分からないから苦戦する人が多いです。

解いていきます。

(1)底辺と高さは、x座標とy座標に平行なところに設定しろ!

(2)図形を分解してでも(1)を守れ!

面積を求めるときはこれにつきます。

まず、x軸やy軸に平行な辺はないので、分解を考えます。

y軸に平行な赤い線で三角形を分解して、2つの三角形にしました。片方ずつ計算します。

y軸に平行な辺を底辺として、x軸に平行なとこを高さとしました。これで、マスの数を数えるだけで、底辺の長さと高さが分かります。

①の面積$=5\times2\div2=5$

②の面積$=5\times2\div2=5$

よって、

全体の面積=①+②=$5+5=10$

10

式を整理して公式を作る

左側と右側に分けてそれぞれの面積を求めて合計し、全体の面積を求めました。

そこで、考えてほしいのが、底辺が向かい合っているということです。

よって、左と右の三角形の底辺は同じになります。

面積=底辺(左)×高さ(左)÷2+底辺(右)×高さ(右)÷2
  =底辺×高さ(左)÷2+底辺×高さ(右)÷2
  =底辺×(高さ(左)+高さ(右))÷2

分配法則により、左右の高さを足し合わせてから、底辺をかけ、2で割ることができることが分かります。

また、高さ(左)+高さ(右)は、三角形の横幅だと分かります。

今言ったすべてをまとめて、

面積=底辺×横幅÷2

で表すことができます。

これであれば、

面積=$5\times4\div2=10$

マス目がないとき

さっきみたいなマス目があるこは稀で基本的には下のようになっていることが多いです。

2本の赤い線の長さが分かれば面積を求めることができるのは学習済みです。

なので、2本の長さが分かるよう計算していきます。

底辺から計算します。
赤い部分が底辺ですが、長さを求めるためには上下の点をまず求めます。


上の点は、$y=2x+1とy=-3x+6$の交点なのですぐに求めます。

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&-3x+6\\ 5x&=&5\\ x&=&1\\ 代入して、y&=&3\\\\ \end{eqnarray}$$ よって、上の点は、$(1,3)$


次に、下の点を求めます。

下の点は、上の点をまっすぐ下に降ろしてきているので、$x=1$になります。$y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$に代入して、$y=-2$。


それを図にしたのが下のやつです。
よって、底辺(赤い線)の長さが、$5$と分かります。

次に、横幅を計算します。
赤い部分が横幅ですが、長さを求めるためには左右の点をまず求めます。


左の点は、$y=2x+1とy=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$の交点で、
$x=-1\qquad y=-1$
になります。

右の点は、$y=-3x+6とy=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$の交点で、
$x=3\qquad y=-3$
になります。


それを図にしたのが下のやつです。
よって、横幅(赤い線)の長さが、$4$と分かります。

$\begin{eqnarray} 面積&=&底辺\times横幅\div2\\\\ &=&5\times4\div2\\\\ &=&10\end{eqnarray}$

練習問題

どのページにも2、3問用意するつもりです。

$y=x+4$と$y=2x$と$y=-x$の3つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ。
まず、どこを求めれば、答えを出すことができるかしっかりと把握してください。今回は、下の図の赤い線2本です。
そのうえで、直線の交点を求めました。求めたのはすでに上の図に書き込んでありますが、途中式を簡単に書きます。

$x+4=2xよりx=4、y=x+4に代入して、y=8\qquad(4,8)$ $x+4=-xよりx=-2、y=x+4に代入して、y=2\qquad(-2,2)$ $2x=-xよりx=0、y=2xに代入して、y=0\qquad(0,0)$

また、$(0,0)$の真上にある底辺の上側の点は、$y=x+4にx=4$を代入して、$(0,4)$と分かります。

よって、底辺×高さ=$4\times6\div2=12$
$12$
   
$y=x-2$と$y=-x-2$と$y=-2x+1$の3つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ。
答えのみです。
$3$
   

まとめ

面積を求めるうえで必要な底辺や高さは、x軸、y軸に平行になるよう設定する。

交点の求め方をしっかりと理解する。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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