【関数】1次関数の基礎、2点を通る直線の式を求める

数学

特になし
関数とは、$x$の値が決まれば$y$の値が決まり、$y$の値が決まれば$x$の値が決まる関係のこと。

1次関数の式

高校での関数の基礎となる1次関数について解説します。

$$\LARGE{y=ax+b}$$

この式は1次関数の基礎です。どんな1次関数を解くにも、この式が頭に入っていなければ解くことはできません。なので最初はこの式の説明からです。

1次関数の式のaの部分を「傾き」や「変化の割合」といい、bのことを「切片」といいます。ただ、抽象的すぎて言葉だけでは何を表しているかよくわかりません。

なので、言い方を変えます。

aは、「xの数を1増やした時に変化するyの数」で、

bは、「y軸と交わる位置」のことを示しています。

上のような$y=2x+1$であれば、$a=2$なので、1つ右にすると高さが2移動しています。また、$b=1$なので、直線がy軸と交わっている位置が、1になっています。

これを踏まえて、1次関数を勉強する際に真っ先にやる自分で関数の式を求める問題について説明していきます。

2点から関数の方程式を求める

2点$(2,3)(-1,0)$を通る直線の式を求めよ。

こんな問題が出たとします。

まず、この問題の最終ゴールは、y=ax+bのaとbに具体的な数字を入れることです。$y=3x+2$、や、$y=-2x-2$のようになればokです。

直線は2点の位置が決まっていれば、引くことができるので、引くことができるのであれば、式に表すことは必ずできます。

先に計算するのは、aの方からです。

aが表しているのは、「xの数を1増やした時に変化するyの数」です。

今、位置がわかっている2点は、xは小さい方から大きい方にいくつ増えていますか?

-1 → 2 となっているので3増えています。それに対して、yはいくつ移動していますか?

0 → 3 と3増えていますね。

では、もしxが1だけ増えた場合、yはいくつ増えますか?

答えはxが1増えれば、yも1増える。よって、$a=1$になります。

(3回で上に3つ進むなら、1回で1つ進むと考えると分かりやすいかな?)

aの値が分かったから、こんな感じ。

$$\large{y=1x+b}$$
一応、他の人のサイトや教科書には、
$$変化の割合=\frac{yの変化量}{xの変化量}$$ とか書いてあり、$a$(変化の割合)を求めています。やっていることはまあ同じです。

それでは、次にbを求めます。

上の式に、問題にあった点$(2,3)(-1,0)$のうちどちらかを代入して、答えを出します。どちらでも答えは一緒になるのでどちらでも大丈夫です。

まずは、$(2,3)$を代入してみます。

$$\large{\array{y=1x+b\\3=1\times2+b\\b=1}}$$

次に一応、$(-1,0)$を代入してみます。

$$\large{\array{y=1x+b\\0=1\times(-1)+b\\b=1}}$$


よって、どちらも同じ値$b=1$になります。

最後に答えの書き方ですが、aとbの数値をy=ax+bに代入するだけです。

$$y=1x+1$$ ただし、$a=1$のときは$1$は書かなくていい。 $$y=x+1$$

練習問題

どのページにも2、3問用意するつもりです。

2点$(-5,2)(1,5)$を通る直線の式を求めよ。

6回右に行くことで3上がるので1回で$\frac{1}{2}$と分かる。よって、$a=\frac{1}{2}$。(計算は、$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$)

次に、$y=\frac{1}{2}x+b$に、$(-5,2)(1,5)$のどちらかを代入する。

$(-5,2)$を代入して、$$\large{\array{y=\frac{1}{2}x+b\\2=\frac{1}{2}\times(-5)+b\\b=\frac{9}{2}}}$$

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$
   
2点$(-2,3)(1,-3)$を通る直線の式を求めよ。

3回右に行くことで―6になるので1回で$-2$と分かる。よって、$a=-2$。(計算は、$\frac{-6}{3}=-2$)

次に、$y=-2x+b$に、$(-2,3)(1,-3)$のどちらかを代入する。

$(-2,3)$を代入して、$$\large{\array{y=-2x+b\\3=-2\times(-2)+b\\b=-1}}$$

$$y=-2x-1$$
   
2点$(0,4)(6,0)$を通る直線の式を求めよ。

6回右に行くことで―4になるので1回で$-\frac{2}{3}$と分かる。よって、$a=-\frac{2}{3}$。(計算は、$\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$)

次に、$y=-\frac{2}{3}x+b$に、$(0,4)(6,0)$のどちらかを代入する。

$(0,4)$を代入して、$$\large{\array{y=-\frac{2}{3}x+b\\4=-\frac{2}{3}\times(0)+b\\b=4}}$$

$$y=-\frac{2}{3}x+4$$
※この問題は他の解き方もありますが載せていません。    

まとめ

$$y=ax+b$$

の$a$と$b$が何を表しているか。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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