部分分数分解とは
例題を上げて説明すると、
$$\frac{1}{x^2+3x+2}=\scriptsize{\frac{1}{x^2+3x+2}}=\frac{1}{x+1}+\frac{-1}{x+2}$$
と、このように
最左辺の分母に2次以上（$x^n\quad (n\geqq 0)$）が含まれてしまっている分数の式から
因数分解を使って、
最右辺のような分母に1次（$x^1$）しか含まれていない形に変形することや、今回の例ではその部分はありませんが、2次以上でもそれ単体で分解できていれば(例：$\frac{1}{x^2}$)
“部分分数分解”と言います。
また、部分分数分解する前の式（上の例だと左辺）によって、いくつかの解き方のパターンがあります。
部分分数分解の解き方（3パターン）
ポイントとしては、因数分解を使うことと、うまい具合にイコールが成り立つように式を変形することです。
解き方にも問題の種類によって、いくつかパターンがあるので1つずつ説明します。
1パターン目
$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}+\frac{-1}{x+2}\,$のような種類
因数分解したときに、（$X,\quad Y\,$を1次の整式とすると、）
$$\frac{ax+b}{XY}=\frac{A}{X}+\frac{B}{Y}$$
のように部分分数分解できます。
そして、このときに$\,A,\quad B\,$に入る適切な数値を求めます。
$$(1)\quad\frac{1}{x^2+3x+2}\quad (2)\quad\frac{x-2}{x^2-x-6}$$
(1)を解く
$$\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$$
となります。
この上で、$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x+1)}{(x+1)(x+2)}\,$となるので$\,A,\quad B\,$を求めます。
分子を比べます。
$$A(x+2)+B(x+1)=1$$
よって、$\left\{\array{A+B=0\\2A+B=1}\right.\,$より、$A=1,\quad B=-1\,$となります。
したがって、
$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}+\frac{-1}{x+2}$$
(2)を解く
$$\frac{x-2}{x^2-x-6}=\frac{x-2}{(x-3)(x+2)}$$
となります。
この上で、$\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-3)}{(x-3)(x+2)}\,$となるので$\,A,\quad B\,$を求めます。
分子を比べます。
$$A(x+2)+B(x-3)=x-2$$
よって、$\left\{\array{A+B=1\\2A-3B=-2}\right.\,$より、$A=\frac{1}{5},\quad B=\frac{4}{5}\,$となります。
したがって、
$$\frac{1}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-3}+\frac{4}{x+2}\right)$$
2パターン目
因数分解したときに、（$X,\quad Y,\quad Z\,$を1次の整式とすると、）
$$\frac{ax^2+bx+c}{XYZ}=\frac{A}{X}+\frac{B}{Y}+\frac{C}{Z}$$
のように部分分数分解できます。
そして、このときに$\,A,\quad B,\quad C\,$に入る適切な数値を求めます。
$$\frac{2x^2+5x+4}{x(x+1)(x+2)}$$
最初の式が
$$\frac{2x^2+5x+4}{x(x+1)(x+2)}$$
その上で、$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}=\frac{A(x+1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\,$となるので$\,A,\quad B,\quad C\,$を求めます。
分子を比べます。
$$A(x+1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x+1)=2x^2+5x+4$$
よって、$\left\{\array{A+B+C=2\\3A+2B+1C=5\\2A=4}\right.\,$より、$A=2,\quad B=-1,\quad C=1\,$となります。
したがって、
$$\frac{2x^2+5x+4}{x(x+1)(x+2)}=\frac{2}{x}+\frac{-1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$$
3パターン目
因数分解したときに、（$X,\quad Y\,$を1次の整式とすると、）
$$\frac{1}{X^2Y}=\frac{AX+B}{X^2}+\frac{C}{Y}=\frac{A}{X}+\frac{B}{X^2}+\frac{C}{Y}$$
のように部分分数分解できます。
そして、このときに$\,A,\quad B,\quad C\,$に入る適切な数値を求めます。
$$\frac{1}{x(x+1)^2}$$
最初の式が
$$\frac{1}{x(x+1)^2}$$
この上で、$\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx}{x(x+1)^2}\,$となるので$\,A,\quad B,\quad C\,$を求めます。
分子を比べます。
$$A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx=1$$
よって、$\left\{\array{A+B=0\\2A+B+C=0\\A=1}\right.\,$より、$A=1,\quad B=-1,\quad C=-1\,$となります。
したがって、
$$\frac{1}{x(x+1)^2}=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}+\frac{-1}{(x+1)^2}$$
$$\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{(x+1)^2}=\frac{a(x+1)^2+(bx+c)x}{x(x+1)^2}$$
よって、
$\left\{\array{a+b=0\\2a+b+c=0\\a=1}\right.\,$より、$a=1,\quad b=-1,\quad c=-2\,$となります。
$$\begin{align} \frac{1}{x(x+1)^2}&=\frac{1}{x}+\frac{-x-2}{(x+1)^2}\\ &=\frac{1}{x}+\frac{-(x+1)-1}{(x+1)^2}\\ &=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}+\frac{-1}{(x+1)^2} \end{align}$$
よって、上の答えと同じになります。
練習問題
$$\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}$$
$$\begin{align} \frac{x^2}{(x-1)(x+1)}&=\frac{(x-1)(x+1)+1}{(x-1)(x+1)}\\ &=1+\frac{1}{(x-1)(x+1)} \end{align}$$ となるので、$\frac{1}{(x-1)(x+1)}\,$を部分分数分解します。
よって、$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}\,$となるので$\,A,\quad B\,$を求めます。
分子を比較して、$A(x+1)+B(x-1)=1\,$より、$A=\frac{1}{2},\quad B=-\frac{1}{2}$
したがって、
$$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x+1}\right)$$となるので、
$$1+\frac{1}{(x-1)(x+1)}=1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x+1}\right)$$
まとめ
最後まで読んでいただきありがとうございました。
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