部分分数分解で解く問題(2つ:積分・極限)

数学
・部分分数分解の基礎
・$log\,A+\log\,B=log(AB)$

部分分数分解は応用問題として、積分で用いるときと、極限で用いる場合があります。

部分分数分解を用いた積分

分母が2次以上($x^n\quad n\geqq2$)の場合、積分をするのが難しい場合が多いです。

そういったときに部分分数分解を使って、分母を1次の式にして積分します。

分母が1次の式なった後の積分

$$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}log|ax+b|+C$$

例題

次の不定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{x}{x^2-x-6}dx$$

$$\frac{x}{(x-3)(x+2)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3}$$

とおくと、

$$\begin{align}
x&=a(x-3)+b(x+2)\\
x&=(a+b)x+(-3a+2b)
\end{align}$$

よって、$a+b=1,quad -3a+2b=0\,$より、$a=\frac{2}{5},\quad b=\frac{3}{5}$

つまり、

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{x}{x^2-x-6}dx&=\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{x}{(x+2)(x-3)}\\
&=\displaystyle \int_{}^{}\,\left(\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x+2}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{x-3}\right)dx\\
&=\frac{2}{5}\,log\,|x+2|+\frac{3}{5}\,log\,|x-3|+C\\
&=\frac{1}{5}\,log\,(x+2)^2|x-3|^3+C
\end{align}$$

$$\frac{1}{5}\,log\,(x+2)^2|x-3|^3+C$$

部分分数分解を用いた無限級数(極限)

数列の極限を求めるときに部分分数分解をすることでうまい具合に式が消えて答えが求められる問題があります。

ただし、積分のときのように$\,x\,$を使った式を分解するのではなく具体的な数値を含んだ状態でも分解します。



$\cdot\frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)$

$\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

例題2

次の無限級数の和を求めよ。
$$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$$

無限級数の和とは、規則性を持った数列を無限に足したもの。

一般項を$\,a_{n}\,$, 初項から第$\,n\,$項までの部分和を$\,S_{n}\,$とする。

$$a_{n}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$$

よって、

$S_{n}=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

$S_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$

$S_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}\textcolor{red}{-\frac{1}{3}}\textcolor{red}{+\frac{1}{3}}\textcolor{blue}{-\frac{1}{5}}\textcolor{blue}{+\frac{1}{5}}\textcolor{red}{-\frac{1}{7}+}\cdots\textcolor{blue}{+\frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2n+1}\right)$

赤い部分$\,\textcolor{red}{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}\,$のように連続して相殺されるので残るのは最初と最後だけになり、

$S_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+1}\right)$

よって、$n→∞\,$について考えると、

$\begin{align}
\displaystyle\lim_{n→∞}\,S_{n}&=\displaystyle\lim_{n→∞}\,\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+1}\right)\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}$

$$\frac{1}{2}$$

練習問題

次の不定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{x^2-1}dx$$
$$\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}$$ とおくと、
$$\begin{align} 1&=a(x-1)+b(x+1)\\ 1&=(a+b)x+(-a+b) \end{align}$$ よって、$a+b=0,\quad -a+b=1\,$より、$a=-\frac{1}{2},\quad b=\frac{1}{2}$
つまり、
$$\begin{align} \displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{x^2-1}dx&=\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{(x+1)(x-1)}\\ &=\displaystyle \int_{}^{}\,\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}\right)dx\\ &=\frac{1}{2}\,log\,|x+1|+\frac{1}{2}\,log\,|x-1|+C\\ &=\frac{1}{2}\,log\,|(x+1)(x-1)|+C \end{align}$$
$$\frac{1}{2}\,log\,|(x+1)(x-1)|+C$$
   
次の無限級数の和を求めよ。
$$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\cdots+\frac{1}{n(n+2)}+\cdots$$
一般項を$\,a_{n}\,$, 初項から第$\,n\,$項までの部分和を$\,S_{n}\,$とする。

$$a_{n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$$
よって、

$S_{n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$

$S_{n}=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$

$S_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}\textcolor{blue}{-\frac{1}{3}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\textcolor{blue}{-\frac{1}{4}}\right)+\frac{1}{2}\left(\textcolor{red}{\frac{1}{3}}\textcolor{blue}{-\frac{1}{5}}\right)+\cdots+\frac{1}{2}\left(\textcolor{red}{\frac{1}{n-1}}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{2}\left(\textcolor{red}{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+2}\right)$

$S_{n}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}\right)$

よって、$n→∞\,$について考えると、

$\begin{align} \displaystyle\lim_{n→∞}\,S_{n}&=\displaystyle\lim_{n→∞}\,\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\\ &=\frac{3}{4} \end{align}$
$$\frac{3}{4}$$
   

まとめ

部分分数分解のやり方が分かっていれば大丈夫です。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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