数学

積の微分と商の微分の公式と証明(例題あり)

$y=x^n\,$の微分は、$y'=nx^{n-1}$ 積の微分 $\left\{f(x)g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ 商の微分 $\left\{\frac{f(x)}{g(x)...
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フーリエ変換とは?例題1つで簡単に理解する(入門)

フーリエ変換について フーリエ級数展開(フーリエ変換)とは、繰り返しで周期的に同じことが起こる関数において、$sin$関数と$cos$関数の合成を用いて必ず表すことができるというものです。 $$f(t)=\left\{...
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y”””+y=0を解いてみたら意外と難しかった

解法 $y=e^{λx}\,$として代入する。 $$\begin{align}λ^6+1&=0\\λ^6&=-1\end{align}$$ オイラーの公式により、$\textcolor{b...
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y”+y=0を2通りで解いてみた

解法(大学範囲) $y=e^{λx}\,$と仮定します。よって、$y^{\prime\prime}=λ^2e^{λx}\,$となります。 $$y^{\prime\prime}+y=0$$ 問題になっている式に代入...
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非同次形の二階線形微分方程式の一般解の求め方(7種類の例題)

同次形二階線形微分方程式の解き方 非同次形の種類 $$y^{\prime\prime}+P(x)y'+Q(x)y=0$$ 同次形の二階線形微分方程式 $$y^{\prime\prime}+P(x)y'+Q(x)y...
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なぜ解を2つ用意する必要があるのか(二階線形微分方程式)

(1)$e^{3x}\,$の微分が$\,3e^{3x}\,$になること。 (2)単純な積分 2つの解とはどういうことか 例題 次の一般解を求めよ。 $$y^{\prime\prime}-4y'+3y=0$$ ...
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虚数が解に含まれる時は虚数が含まない解にする必要がある

マクローリン展開についてはそういうものがあるんだと思って読んでください。 二階線形微分方程式の一般解が虚数になる 二階線形微分方程式 $$y^{\prime\prime}+ay'+by=0$$ において...
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なぜe^λxと仮定して解くのか(仮定しないで解いてみる)微分方程式2階

一階線形微分方程式の解き方 二階線形微分方程式について 二階線形微分方程式の一般解の解き方において、 $$y=e^{λx}$$ と仮定して解くことが定石です。 しかし、ここで「なぜそんな風...
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二階線形微分方程式の解き方|疑問の解決

二階線形微分方程式で苦しむ理由に、なぜそうなるのか分からないといったことが多いので理解しづらいという人が多いと思います。 なので、その辺も含め自分が疑問に感じたことを全て説明して、完全に二階線形微分方程式の説明をしようと思い...
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ベルヌーイ微分方程式の解き方(例題あり)

積分定数の使い方:$e^C=C\,$となる。 線形微分方程式を知っておくと早く理解できると思います。 ベルヌーイ微分方程式とは xのみで表されるP(x)とQ(x)を係数とする一階微分方程式を、 ...
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