【常微分方程式と偏微分方程式】の違いと【特殊解と一般解】の違い

数学
特になし

常微分方程式について

常微分方程式というのは、簡単に言うと普通の微分方程式のことです。

$$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=0$$

$$y=Cx$$

このようにもともと$\,\frac{dy}{dx}\,$が含まれている式のことを微分方程式といい、その式から、$\,\frac{dy}{dx}\,$がない式にすることを微分方程式を解くと言います。

分かりやすい問題であれば、解いた答えが$\,y=\,$の式になります。

その中でも、$\,y=f(x)\,$のように、$y$が「1つの変数のみ」で表される場合のことを「常微分方程式」と言われています。

上の例では、$\,y=Cx\,$となっていて、$y$が$x$(1つの変数)だけで表されています。

他にも、


$$2x^2\frac{dy}{dx}=x^2+y^2$$

$$\frac{dy}{dt}+ty=1$$

$$\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+xy=-y^5$$


のようなものもあります。(まだまだ色々ありますが。)

全て$\,y=\,$の形に直すことができますし、$y$を$x$(1つの変数)のみで表すことができます。

よって、いずれも常微分方程式です。

常微分方程式で有名なもの

工学や物理学でよくでる、位置と速度と加速度の関係は、常微分方程式です。

力学において、地上から鉛直上向きに物体を投げ上げたときの位置を$\,y\,$(高さ)として、重力のみがかかっていると考えると、

$$\frac{d^2y}{dt^2}=-g\quad\quad(1)$$

という式になり、これを変形していくと、最終的に、

$$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0}t+y_{0}$$

($v_{0}\, ,\,y_{0}$は定数)

となります。つまり、$y$は$t$のみで表されるので(1)は常微分方程式です。

位置と速度と加速度の常微分方程式の解き方

上のやつの解き方を説明しておきます。

まず、前提条件として$\,v_{0}\,$は初速度、$\,y_{0}\,$を初期位置とします。このようなものを初期条件と言ったりします。

$$\frac{d^2y}{dt^2}=-g\quad\quad(1)$$

の式から変形して求めていきます。力学の関係から、$\,\frac{dy}{dt}=v\,$となるので、

$$\frac{dv}{dt}=-g$$

両辺に$\,dt\,$をかけます。そして、積分します。

$$\displaystyle \int_{}^{}dv=-\displaystyle \int_{}^{}g\cdot dt$$

$$v=-gt+C$$

$\,C\,$を求めるために初速度は$\,v_{0}\,$で、$\,t=0\,$の場合を考えます。

$$v_{0}=-g\cdot 0+C_{1}$$

$$C_{1}=v_{0}$$

よって、

$$v=-gt+v_{0}$$

$$\frac{dy}{dt}=-gt+v_{0}$$

ここから、両辺に$\,dt\,$をかけて、積分して、$\,t=0\,$について考えて、最後まで求めます。

$$\displaystyle \int_{}^{}dy=\displaystyle \int_{}^{}(-gt+v_{0})\cdot dt$$

$$y=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0}t+C_{2}$$

$$y_{0}=-\frac{1}{2}g\cdot 0^2+v_{0}\cdot 0+C_{2}$$

$$C_{2}=y_{0}$$

よって、

$$y=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0}t+y_{0}$$

n階常微分方程式

常微分方程式には、1階常微分方程式、2階常微分方程式、3階常微分方程式・・・n階常微分方程式という分類があります。

これは簡単な話で、微分方程式の中の最高階の導関数が、

$\frac{dy}{dx}$がであれば、1階常微分方程式

$\frac{d^2y}{dx^2}$であれば、2階常微分方程式

$\frac{d^3y}{dx^3}$であれば、3階常微分方程式

・・・

$\frac{d^ny}{dx^n}$であれば、n階常微分方程式

なので、さっきあった

$$\frac{d^2y}{dt^2}=-g\quad\quad(1)$$

これは、2階常微分方程式です。

偏微分方程式について

微分方程式の中で、$\,z=f(x,y)\,$のように変数が2つ以上で、それをを偏微分している者が含まれている方程式のことを偏微分方程式と言います。

$$z=x^2+y^2$$

のようにzを表せるとして、

$$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} +\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=0$$

のような問題があれば、これは偏微分方程式です。

n階偏微分方程式

n階常微分方程式と同じです。

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} +\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=0$なら1階偏微分方程式

$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} +\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$なら2階偏微分方程式

・・・

$\displaystyle \frac{\partial^n z}{\partial x^n} +\displaystyle \frac{\partial^n z}{\partial y^n}=0$ならn階偏微分方程式

一般解と特殊解(特解)

微分方程式を解くときによく出てくる単語で、「一般解」と「特殊解(特解)」があります。

これについては、何度か出てきたこの式を使って説明します。

$$\frac{d^2y}{dt^2}=-g\quad\quad(1)$$

これの解は、

$$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0}t+y_{0}$$

でした。これのことを特殊解と言います。

これに対して、これは初期条件が決まっていましたが、初期条件が決まっていない状態で解いたもので$\,C\,$が式に残っている状態の解のことを一般解と言います。

なので、上のであれば、

$$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+C_{1}t+C_{2}$$

初期条件がなければこうなり、これのことを一般解と言います。

練習問題

このページでは言葉の説明をしただけなので、練習問題は特にありませんが、とりあえずなんか常微分方程式について載せておきます。

クリックを押すと答えのみが出てきて、解き方(途中式)については、他のページで紹介します。

次の式の一般解を求めよ。
$\frac{d^2y}{dx^2}+y=3$
$y=Ce^{-x}+3$
   
次の式の一般解を求めよ。
$2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x^2+y^2$
$log\left|x\right|=-\frac{2x}{y-x}+C$

もしくは、上の式を頑張って変形して、

$y=$ホンチャラカンチャラ
$y=$の形の直してもいいですが、基本的には上の方の($log\left|x\right|=$)答えを正式な答えとして大丈夫です。

頑張れば、簡単に$y=$とできるというとこまで計算できればokで、$\frac{dy}{dx}$がなくなっていれば、大体いいのが微分方程式を解くということです。    

まとめ

特になし

問題が解ければ名称はどうでもいいです。

最後まで読んでいただきありがとうございます。

ロゴ

コメント

タイトルとURLをコピーしました