一階線形微分方程式(まとめ)

一階線形微分方程式のサムネ大学数学

この記事では、1階線形微分方程式について解説します。

大学で習う範囲で、難しい内容ではありますが、微分積分ができる人であれば理解できる内容です。

例題もあるので、例題を見ながら理解していただくのもおすすめです。

一階線形方程式とは

1階線形微分方程式

$x$のみで表される$P(x)$と$Q(x)$があるとして、

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

のような形の微分方程式のことを一階線形微分方程式と言います。

そして、微分方程式には2種類あり、それは一階線形微分方程式も例外ではありません。

  1. $Q(x)=0\,$の時:一階同次線形微分方程式
  2. $Q(x)\neq 0\,$の時:一階非同次線形微分方程式

ここからは、それぞれの微分方程式の解き方について解説します。

微分方程式を解くこと=「$y=○○$」の式を求めることです。

一階同次線形微分方程式の解き方

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$

説明上$\,\,\scriptsize{p(x)\overset{\normalsize{\text{微分}}}{\longrightarrow}P(x)}$、$\scriptsize{P(x)\overset{\normalsize{\text{積分}}}{\longrightarrow}p(x)}\,\,$の関係とします。

一階同次線形微分方程式の解き方

$$\begin{align} \frac{dy}{dx}+P(x)y&=0\\[7px] \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}&=-P(x)\\[7px] \frac{1}{y}dy&=-P(x)dx\\[7px] 両辺を積分&する。\\[7px] \displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{y}dy&=\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx\\[7px] log\left|y\right|&=-p(x)+C\\[7px] y&=e^{(-p(x)+C)}\\[7px] y&=e^C\cdot e^{-p(x)}\\[7px] y&=Ce^{-p(x)} \end{align}$$

積分定数$C$は、$x$に関係のない部分全てをまとめられるものなので、

$$e^C=C$$

となっています。(それぞれの$C$は別物だと考えてください。)

例題1(同次)

次の微分方程式を解いてください。

$$\frac{dy}{dx}+y=0$$

$$\begin{align} \frac{dy}{dx}+y&=0\\[7px] \displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{y}dy&=-\displaystyle \int_{}^{}dx\\[7px] log\left|y\right|&=-x+C_{1}\\[7px] y&=e^{C_{1}}\cdot e^{-x}\\[7px] &=\color{red}{\underline{Ce^{-x}}_{//}} \end{align}$$

一階非同次線形方程式の解き方

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

一階非同次線形微分方程式の解き方

$Q(x)\neq 0$となっているだけで、同次形とほとんど一緒なので、答えも同じようになると予想ができます。

そこで、思い切って答えがほぼ一緒と考え、答えを下記のように仮定します。

$$y=C(x)e^{-p(x)}$$

仮定したら微分します。

$$\begin{align}\frac{dy}{dx}&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-p(x)}-P(x)C(x)e^{-p(x)}\\&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-p(x)}-P(x)y\end{align}$$

よって、一階非同次線形微分方程式の式に$\frac{dy}{dx}$を代入して、答えを求めます。

$$\begin{align} \frac{dy}{dx}+P(x)y&=Q(x)\\[7px] \frac{dC(x)}{dx}e^{-p(x)}&-P(x)y+P(x)y=Q(x)\\[7px] \frac{dC(x)}{dx}e^{-p(x)}&=Q(x)\\[7px] dC(x)&=\frac{Q(x)}{e^{-p(x)}}dx\\[7px] dC(x)&=Q(x)e^{p(x)}dx\\[7px] 両辺を積分&する。\\[7px] \displaystyle \int_{}^{}dC(x)&=\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{p(x)}dx\\[7px] C(x)&=\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{p(x)}dx+C\\[7px] 最初に仮定&したy=C(x)e^{-p(x)}に代入します。\\[7px] y&=\left(\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{p(x)}dx+C\right)e^{-p(x)}\\[7px] &=Ce^{-p(x)}+e^{-p(x)}\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{p(x)}dx \end{align}$$

例題2(非同次)

次の微分方程式を解いてください。

$$\frac{dy}{dx}+y=x$$

非同次形を解くにも、まずは、同次形を解き、大体の答えを求めます。

同次形にするには、右辺を$0$にするだけです。

$$\frac{dy}{dx}+y=0$$

よって、これを求めると$y=Ce^{-x}$になります。(例題1で解いています。)

次に、答えを下記のように仮定します。

$$y=C(x)e^{-x}$$

微分します。

$$\begin{align}
\frac{dy}{dx}&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-C(x)e^{-x}\\[7px]
&=\color{red}{\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-y}
\end{align}$$

そして、最初に戻って、問題の式に代入します。

$$\begin{align}
\frac{dy}{dx}+y&=x\\[7px]
\color{red}{\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-y}+y&=x\\[7px]
dC(x)&=xe^{x}dx\\[7px]
\displaystyle \int_{}^{}dC(x)&=\displaystyle \int_{}^{}xe^{x}dx
\end{align}$$

部分積分法により、

$$\begin{align}
C(x)&=xe^{x}-\displaystyle \int_{}^{}e^{x}dx\\[7px]
&=xe^{x}-e^{x}+C
\end{align}$$

はじめに仮定した$y=C(x)e^{−x}$に代入します。

$$\begin{align}
y&=(xe^{x}-e^{x}+C)e^{-x}\\[7px]
&=\color{red}{\underline{Ce^{-x}+x-1}_{//}}
\end{align}$$

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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