【詳しく】一階線形微分方程式の解き方、非同次線形方程式の解き方

数学
積分定数の使い方:$e^C=C\,$となる。

1階線形方程式とは

xのみで表されるP(x)とQ(x)を係数とする一階微分方程式を、

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

を一階線形微分方程式といいます。

一階線形微分方程式には、2種類あります。

  • $Q(x)=0\,$の時:同次線形方程式
  • $Q(x)\neq 0\,$の時:非同次線形方程式

同次線形方程式の解き方

最終的には非同次線形方程式を解くことが目的ですが、そっちを解くには、まず、同次方程式の解き方を学ぶ必要があります。

といっても、とても簡単です。

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$

同次線形方程式は、

$$\begin{align}
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}&=-P(x)\\\\
\frac{1}{y}dy&=-P(x)dx
\end{align}$$

とすることができるので、ここから両辺を積分します。

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{y}dy&=\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx\\\\
log\left|y\right|&=\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx+C\\\\
y&=Ce^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}
\end{align}$$

と同次線形方程式の一般解を求めることができます。

同次線形方程式は、変数分離形とまったく同じ形で名前が変わっただけです。なので、上のやつの解き方で分からない部分があったらこちらを見ていただくようお願いします。

【詳しく】一階常微分方程式の変数分離形の解き方(具体例あり)
(1)積分定数の使い方:一般解に出てくる定数はCになる。(2)$\displaystyle \int_{}^{}\frac{f'(x)}{f(x)}=log\left|f(x)\right|\,$の積分。変数分離形の...

非同次線形方程式の解き方

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

非同次線形方程式は、$Q(x)\neq 0\,$です。

同次線形方程式とかたちが似ているので、一般解も同じようになることが予想できます。

そこで、同次方程式の一般解を逆に微分して、$\frac{dy}{dx}\,$を作り出し、非同次線形方程式に代入することを考えます。

同次線型方程式の一般解はこうなりました。

$$y=Ce^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}$$

これを微分するのですが、このまま微分しても、積分したものを微分することになってもとに戻るだけです。そこで、CをC(x)に置き換えます。この解き方を定数変化法と言います。

$$y=C(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}$$

をxについて微分すると、

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dC(x)}{dx}e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}-P(x)C(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}$$

よって、非同次線形方程式の式の$\,\frac{dy}{dx}\,$と$\,y\,$にそれぞれ上にある式を代入します。

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

$$\frac{dC(x)}{dx}e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}\textcolor{blue}{-P(x)C(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}+P(x)C(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}}=Q(x)$$

$$\frac{dC(x)}{dx}e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}=Q(x)$$

これを、C(x)に関する微分方程式と考えて、式を変形して積分する。

$$\begin{align}
dC(x)&=\frac{Q(x)}{e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}}dx\\\\
\displaystyle \int_{}^{}dC(x)&=\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}P(x)dx}}dx\\\\
C(x)&=\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}P(x)dx}}dx+C
\end{align}$$

C(x)を求めることができました。$y=C(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}\,$に代入します。

$$\begin{align}
y&=\left(\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}P(x)dx}}dx+C\right)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}\\\\
&=\textcolor{red}{Ce^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}}+\textcolor{blue}{e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}P(x)dx}}dx}
\end{align}$$

非同次線形方程式
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
の一般解は、
$$y=\textcolor{red}{Ce^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}}+\textcolor{blue}{e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}-P(x)dx}}\displaystyle \int_{}^{}Q(x)e^{\tiny{\displaystyle \int_{}^{}P(x)dx}}dx}$$
となります。この時、一般解の第1項は、同次線形方程式の一般解と全く同じ形になっています。また、第2項は非同次線形方程式の特解になっています。

まとめると、非同次線形方程式の一般解は、同次線形方程式の一般解非同次線形方程式の特解になります。

ここの部分は説明しにくいので、一般解の解き方含め、非同次の具体例で説明していますので是非そっちを見てください。

【具体例】非同次線形方程式の一般解

(例1)次の式の一般解を求めよ。
$$\frac{dy}{dx}+y=x$$

非同次線形方程式をまずは同次線形方程式します。右辺を$\,0\,$にするだけです。

$$\frac{dy}{dx}+y=0$$

同次線形方程式の一般解を求めます。

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{y}dy&=-\displaystyle \int_{}^{}dx\\\\
log\left|y\right|&=-x+C_{1}\\\\
y&=\textcolor{red}{Ce^{-x}}
\end{align}$$

これが、同次線形方程式の一般解になります。

定数変化法を行い、$\,C=C(x)\,$にしてxで微分します。

$$\begin{align}
y&=C(x)e^{-x}\\\\
\frac{dy}{dx}&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-C(x)e^{-x}\\\\
\end{align}$$

ここで、最初の非同次線形方程式($\,\frac{dy}{dx}+y=x\,$)に話を戻し、左辺の2つの項のそれぞれに上の式を代入します。

$$\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}\textcolor{blue}{-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}}=x\\\\
\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}=x$$

積分して、C(x)を求める。

$$\displaystyle \int_{}^{}dC(x)=\displaystyle \int_{}^{}xe^{x}dx$$

部分積分法により、

$$\begin{align}
C(x)&=xe^x-\displaystyle \int_{}^{}e^{x}dx\\\\
&=xe^x-e^{x}+C
\end{align}$$

C(x)を定数変化法を行った後の$\,y=C(x)e^{-x}\,$に代入する。

$$\begin{align}
y&=(xe^x-e^{x}+C)e^{-x}\\\\
&=Ce^{-x}+x-1
\end{align}$$

(例1の答え) 一般解:$y=Ce^{-x}+x-1$
非同次線形方程式の一般解が、同次線形方程式の一般解非同次線形方程式の特解になることを説明します。

まずは、上の例の一般解を分けます。
$$y=\textcolor{red}{Ce^{-x}}+\textcolor{blue}{x-1}$$
この時、赤色は、同次方程式の一般解と全く同じになっています。

次に青色。「青色は、非同次線形方程式の特解になります。」が成り立つかどうか考えます。

$y=x-1\,$を非同次線形方程式$\,\frac{dy}{dx}+y=x\,$の左辺に代入します。
$$\frac{d(x-1)}{dx}+(x-1)=1+x-1=x$$
となり右辺の値($x$)と同じになりました。積分定数Cが含まれておらず、非同次線形方程式を満たすので、$y=x-1\,$は特解です。

練習問題

次の式の一般解を求めよ。
$$\frac{dy}{dx}+3y=2$$
同次方程式の一般解を求める。
$$\begin{align} \frac{dy}{dx}+3y&=0\\\\ \displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{y}dy&=-\displaystyle \int_{}^{}3\cdot dx\\\\ log\left|y\right|&=-3x+C_{1}\\\\ y&=Ce^{-3x} \end{align}$$
定数変換法を使う。
$$\begin{align} y&=C(x)e^{-3x}\\\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-3x}-3C(x)e^{-3x}\\\\ \end{align}$$
$\frac{dy}{dx}+3y=2\,$に代入する。
$$\frac{dC(x)}{dx}e^{-3x}-3C(x)e^{-3x}+3C(x)e^{-3x}=2$$
$$\begin{align} \frac{dC(x)}{dx}e^{-3x}&=2\\\\ \displaystyle \int_{}^{}dC(x)&=\displaystyle \int_{}^{}2e^{3x}\cdot dx\\\\ C(x)&=\frac{2}{3}e^{3x}+C \end{align}$$
$y=C(x)e^{-3x}\,$に代入する。
$$\begin{align}y&=\left(\frac{2}{3}e^{3x}+C\right)e^{-3x}\\\\ y&=Ce^{-3x}+\frac{2}{3}\end{align}$$
一般解:$y=Ce^{-3x}+\frac{2}{3}$
   
次の式の一般解を求めよ。
$$\frac{dy}{dx}+y=e^{2x}$$
同次方程式の一般解を求める。
$$\begin{align} \frac{dy}{dx}+y&=0\\\\ \displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{y}dy&=-\displaystyle \int_{}^{}dx\\\\ log\left|y\right|&=-x+C_{1}\\\\ y&=Ce^{-x} \end{align}$$
定数変換法を使う。
$$\begin{align} y&=C(x)e^{-x}\\\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-C(x)e^{-x}\\\\ \end{align}$$
$\frac{dy}{dx}+y=e^{2x}\,$に代入する。
$$\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}=e^{2x}$$
$$\begin{align} \frac{dC(x)}{dx}e^{-x}&=e^{2x}\\\\ \displaystyle \int_{}^{}dC(x)&=\displaystyle \int_{}^{}e^{3x}\cdot dx\\\\ C(x)&=\frac{1}{3}e^{3x}+C \end{align}$$
$y=C(x)e^{-x}\,$に代入する。
$$\begin{align}y&=\left(\frac{1}{3}e^{3x}+C\right)e^{-x}\\\\ y&=Ce^{-x}+\frac{1}{3}e^{2x}\end{align}$$
一般解:$y=Ce^{-x}+\frac{1}{3}e^{2x}$
   

まとめ

非同次線形方程式の一般解=同次方程式の一般解+非同次線形方程式の特解

になっていて、まず同次線形方程式の一般解を求めてから、定数変化法を行い非同次線形方程式の一般解を求める。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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