最大値、最小値の求め方(2次関数と複雑な関数の2種類での解き方)

数学
基本的な微分の仕方

最大値と最小値について

関数$\,f(x)\,$において、最大値、最小値とは、

定義域内全てにおいて
・$\,f(x) < f(a)\,$が成り立つときは$\,f(a)\,$が最大値
・$\,f(x) > f(a)\,$が成り立つときは$\,f(a)\,$が最小値

下の図は、関数$\,f(x)\,$において定義域が$\,-4<x<4\,$になっていますが、最大値、最小値は端ではなく途中にあります。

上のに対して、下の図は、同じように定義域が$\,-4<x<4\,$になっていて、最大値、最小値は定義域の端っこにあります。

このような関数$\,f(x)\,$の最大値、最小値の求め方を紹介していきます。

最大値、最小値の求め方

関数によって、求め方が変わります。

二次関数」か「二次関数じゃない」かの2つです。

二次関数の例
・$\,y=x^2+6x+3\,$
・$\,y=(x-1)^2+1\,$
など

二次関数じゃない関数の例
・$\,y=x^4-2x^2-x+4\,$
・$\,y=log\,x\,$
・$\,y=e^x\,$
・$\,y=sin\,x\,$
など

二次関数の場合

二次関数の場合は平方完成を使用して最大値(最小値)を求めます。

平方完成のやり方

関数$\,y=ax^2+bx+c\,$において、平方完成を行う場合、まずは、$\,a\,$でくくって$\,y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\,$とします。

そして、この後に$\,\frac{b}{a}\,$を$\,\frac{1}{2}\,$にして、$(x+\frac{b}{2a})^2\,$の形にします。そこから、式が変わらないように補完しながら変形します。よって、

$$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$$

となります。

もっと詳しく知りたいなら、こちら。

【関数】2次関数の頂点 平方完成での求め方(5分以内で分かる)
$y=a(x-p)^2+q$。この形での2次関数の表し方。頂点が(p,q)になること。$x^2+ax$を$(x+\frac{a}{2})^2-${余分な分$(a^2)$}この形が平方完成。2次関数の頂...

平方完成を使って最大値、最小値を求める

二次関数は上に凸、もしくは、下に凸になります。凸の形になることで、二次関数は最大値、もしくは、最小値が確定します。

$$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$$

これにおいて、

実数すべてを定義域にするなら、
$a>0\,$ならば下に凸なので$\,c-\frac{b^2}{4a}\,$は最小値になる。
$a<0\,$ならば上に凸なので$\,c-\frac{b^2}{4a}\,$は最大値になる。

また、定義域を絞った場合にのみ最大値と最小値の両方が存在します。

例題(二次関数)

次の関数の最大値と最小値を求めよ。
$$y=\frac{1}{2}x^2-x-\frac{1}{2}\quad(0\leqq x\leqq 3)$$

平方完成します。

$$\begin{align}
y&=\frac{1}{2}x^2-x-\frac{1}{2}\\
&=\frac{1}{2}(x^2-2x)-\frac{1}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left\{(x-1)^2-1\right\}-\frac{1}{2}\\
&=\frac{1}{2}(x-1)^2-1
\end{align}$$

よって、これを図で考えると、

最大値と最小値の位置が分かるので、その位置での値を考えることで、

最大値の$\,x\,$は$x=1$
最小値の$\,x\,$は$x=3$

よって、関数に代入することで答えを求められます。

最大値 $1\quad (x=3)$
最小値 $-1\quad (x=1)$

二次関数じゃない多くの関数の場合

二次関数じゃない関数の場合は、微分して、増減表を考えます。

増減表を書くことで、複雑な関数でも大体の形が分かり概形を書くことが可能になります。

その概形から最大値と最小値を求めます。例題がないと説明しにくいのでさっそく例題を解きます。

例題(増減表を使う関数)

次の関数の最大値と最小値を求めよ。
$$y=x+\frac{1}{x}\quad(\frac{1}{2}\leqq x\leqq 3)$$

関数$\,f(x)=x+\frac{1}{x}\,$を微分することにより、

$$\begin{align}
f'(x)&=1-\frac{1}{x^2}\\
&=\frac{x^2-1}{x^2}\\
&=\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}
\end{align}$$

$f'(x)=0\,$となるのは、

$$x=\pm1$$

したがって、$\frac{1}{2}\leqq x\leqq 3\,$の範囲で増減表を書くと、

$\begin{array}
{|c|ccccc|}
\hline x&\frac{1}{2}&\cdots&1&\cdots&3\\
\hline f'(x)& &-&0&+& \\
\hline f(x)&\frac{5}{2}&\searrow&2&\nearrow&\frac{10}{3} \\
\hline
\end{array}$

増減表の書き方

左側にはその段が何の情報なのかを分かるように$\,x\,,\,f'(x)\,,\,f(x)\,$を置きます。
・$\,x\,$の段には、$\,f'(x)=0\,$になるときの$\,x\,$の値を書きます。それ以外の部分は$\,\cdots\,$で補います。
・$\,f'(x)\,$の段には、$\,f'(x)\,$の値が上の段の$\,x\,$によって、$+\,,\,-\,,\,0\,$のいずれかを書きます。そして、関数の定義域を設定した場合、定義域の端は微分可能ではないので何も書きません。
・$\,f(x)\,$の段には、$\,f'(x)\,$の段によって、$+\cdots\nearrow\,$、$-\cdots\searrow\,$を書き、$0\,$のときと何も書いていないときは$\,x\,$が決まっているので、代入して$\,f(x)\,$の値を書きます。

よって、これを図で考えると、

最大値と最小値が分かります。

最大値 $\frac{10}{3}\quad (x=3)$
最小値 $2\quad (x=1)$

すごく簡単に増減表から書いた図を上に示しましたが実際の関数の形を一応下に示しておきます。

実際には、「二次関数じゃない」関数の最大値(最小値)の求め方で、「二次関数」の最大値(最小値)は求めることが可能ですが、「二次関数」の場合もっと簡単に求める方法(平方完成)があるからそっちで解くというだけです。

練習問題

基本問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ。
$$y=-x^2+2x+4$$
$y=-x^2+2x+4\,$より、平方完成を行うことで、
$$\begin{align} y&=-(x^2-2x)+4\\ &=-(x-1)^2+5 \end{align}$$ 上に凸なので、頂点が最大値になる。ただ、$\displaystyle\lim_{x→\pm ∞}\,(-x^2+2x+4)=-∞\,$なので、最小値はない。

最大値 $5\quad (x=1)$
最小値 なし

   
次の関数の最大値と最小値を求めよ。
$$y=\frac{x^2}{e^{x^2}}$$
$y=\frac{x^2}{e^{x^2}}\,$を微分します。
$$\begin{align} y’&=\frac{2x\cdot e^{x^2}-x^2\cdot 2xe^{x^2}}{(e^{x^2})^2}\\ &=\frac{2xe^{x^2}(1-x^2)}{(e^{x^2})^2}\\ &=\frac{2xe^{x^2}(1+x)(1-x)}{(e^{x^2})^2}\\ \end{align}$$ $y’=0\,$となるのは、
$$x=0,\pm1$$ ここで、$x→\pm ∞\,$について考えると、
$$\displaystyle\lim_{x→\pm ∞}\,\frac{x^2}{e^{x^2}}=0$$ となります。これに関しては、こちらを見てください。証明しています。
eに関する極限の解き方(問題付き)|x/e^x,x^n/e^xの証明
(1)$\,log\,e=1$(2)証明においては、はさみうちの原理と数学的帰納法極限とeにおける問題は基本難しい改めて言うことではありませんが、$\,e\,$が関係する極限の問題は、難しいです。難し...
以上より、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline x&\cdots&-1&\cdots&0&\cdots&1&\cdots\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&- \\ \hline f(x)&\nearrow&\frac{1}{e}&\searrow&0&\nearrow&\frac{1}{e}&\searrow \\ \hline \end{array}$
図はこんな感じ
よって、

最大値 $\frac{1}{e}\quad (x=\pm 1)$
最小値 $0\quad (x=0)$

   

応用(図の問題)

xy平面上で動く点Pは$\,ℓ:y=\sqrt{3}x\,$上でのみ速さ2で動き、それ以外の場所では速さ1で動く。このとき、原点を出発して点$(0,\sqrt{3})$に着くまでの最短時間を求めよ。
問題を図にしたのがこんな感じ。

点Pが最初は$\,ℓ\,$上に乗って進み、途中で外れると考え、外れる点を$\,T\,$とし、座標を$\,(t\,,\,\sqrt{t})\,$とします。$(t\geqq 0)$
$ℓ\,$上での道のりは、
$$\sqrt{t^2+(\sqrt{3}x)^2}=2t$$ $ℓ\,$上から離れた後の道のりは、
$$\sqrt{t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{4t^2-6t+3}$$ よって、到着点まで行くのにかかる時間は、
$$\frac{2t}{2}+\frac{\sqrt{4t^2-6t+3}}{1}=t+\sqrt{4t^2-6t+3}$$ ここで、$f(t)=t+\sqrt{4t^2-6t+3}\,$として、$f(t)\,$を微分する。
$$\begin{align} f'(t)&=1+\frac{4t-3}{\sqrt{4t^2-6t+3}}\\\\ &=\frac{\sqrt{4t^2-6t+3}+4t-3}{\sqrt{4t^2-6t+3}} \end{align}$$ $f'(t)=0\,$になるのは、
$$\sqrt{4t^2-6t+3}+4t-3=0$$ となるので、よって、 $$\begin{align} \sqrt{4t^2-6t+3}&=-4t+3\quad\cdots ①\\ 4t^2-6t+3&=(-4t+3)^2\\ 4t^2-6t+3&=16t^2-24t+9\\ 2t^2-3t+1&=0\\ (2t-1)(t-1)&=0\\ t&=\frac{1}{2}\,,\quad 1 \end{align}$$ ここで、$\sqrt{4t^2-6t+3}>0\,$より、①から$\,-4t+3>0\,$となるので、$t=1\,$は解にならず、定義域は$\,0\leqq t\leqq \frac{3}{4}\,$となるので、
$$t=\frac{1}{2}$$ 以上より、増減表は、
$\begin{array} {|c|cccc|} \hline t&0&\cdots&\frac{1}{2}&\cdots\\ \hline f'(t)& &-&0&+ \\ \hline f(t)&\sqrt{3}&\searrow&\frac{3}{2}&\nearrow \\ \hline \end{array}$
よって、

最小値 $\large{\frac{3}{2}}$

   

まとめ

増減表を作れるようにしておきましょう。色々使えます。今回のように最大値、最小値など。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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