【数学】nPr(順列)の計算方法と意味

数学における順列Pのサムネ大学数学

この記事では、nPr(順列)について解説します。

順列の計算は、場合の数確率のところで出てくるもので、計算はそこまで難しくはないので、比較的短めです。

初めて勉強する人にとっても見やすいものになっています。

nPr(順列)の計算

P(順列)の公式

$${}_{n}\mathrm{P}_{\large{r}}=\underbrace{\color{red}{n}\times (n-1)\times \cdots\times (n-r+1)}_{\color{red}{\LARGE{r}}\large{個}}$$

例) ${}_{7}\mathrm{P}_{5}=7\times 6\times 5\times 4\times 3$

例題

1~5までの計5枚のカードで3桁の数字を作るとき、全部で何通りになるか求めてください。

$$\begin{align} {}_{5}\mathrm{P}_{3}&=5\times 4\times 3\\[7px] &=\color{red}{\underline{\,60\,}_{//}\cdots 【答】} \end{align}$$

nPr(順列)の意味

順列 P は、順番を指定するときの場合の数を求めるときに使います。

計算として、求めたい場合の数を1つ1つのパターンごとに区切り、

その1つ1つのパターンで何通りずつあるのか考え、かけ算するという流れです。

前章の例題を使って詳しく説明します。

先ほどの問題は、1~5の5枚のカードで3桁の数字を作る問題でした

そこで、まず百の位, 十の位, 一の位と1つ1つのパターン分けをします。

百の位から考えます。

百の位に置くことのできる数字は全部で何通りですか? →$\large{5}\scriptsize{通り}$です。

順列5枚の数字で3桁の数字を作る1

次に、十の位を考えると、

十の位に置くことのできる数字は全部で何通りですか? →$\large{4}\scriptsize{通り}$です。

順列5枚の数字で3桁の数字を作る2

最後の一の位も同じように考えると、

一の位に置くことができる数字は全部で何通りですか? →$\large{3}\scriptsize{通り}$です。

順列5枚の数字で3桁の数字を作る3

よって、

$$\large{5}\scriptsize{通り}\times \large{4}\scriptsize{通り}\times \large{3}\scriptsize{通り}=\large{60}\scriptsize{通り}$$

となります。

したがって、計算を短く書くために高校で、${}_{5}\mathrm{P}_{3}=5\times 4\times 3$を習います。

このような1つ1つのパターン分けの考え方をマスターすれば、C(組み合わせ)も実は解けるようになります。

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