【数学】nCr(組み合わせ)コンビネーションの計算方法と意味

数学における組み合わせCのサムネ大学数学

この記事では、nCr(組み合わせ)について解説します。

組み合わせの計算は、確率場合の数の範囲で出てくるもので、使い方が少し難しいです。

どういう計算を行っているのかを理解し、公式を覚えてしまうことが重要になります。

nCr(組み合わせ)の計算

C(組み合わせ)の公式

$${}_{n}\mathrm{C}_{\large{r}}=\frac{\overbrace{\color{red}{n}\times (n-1)\times \cdots\times (n-r+1)}^{\color{red}{\LARGE{r}}\large{個}}}{\underbrace{\color{red}{r}\times (r-1)\times \cdots\times 1}_{\color{red}{\LARGE{r}}\large{個}}}$$

分母は$\color{red}{n}$から始まって$\color{red}{r}$個のかけ算、分子は$\color{red}{r}$から始まって$1$までの$\color{red}{r}$個のかけ算。

例) ${}_{7}\mathrm{C}_{3}=\Large{\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}}$

例題

10個の箱から3つを選ぶ組み合わせは、全部で何通りになるか求めてください。

$$\begin{align} {}_{10}\mathrm{C}_{3}&=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}\\[7px] &=\color{red}{\underline{\,120\,}_{//}\cdots 【答】} \end{align}$$

nCr(組み合わせ)の意味

組み合わせ C は、順番を指定しないときの場合の数を求めるときに使います。

しかし、計算するときは一度、選び方の順番を決めた上で総数を求め、

そのあと重複する数で割って答えを求めるという流れです。

前章の例題を使って詳しく説明します。

先ほどの問題は、10個の箱から3つを選ぶ問題でした

問題では3つの箱を選び出すだけでしたが、今回は分かりやすくするため、選んだ箱にボールを入れ目印にします。

選んだ箱にボールを入れる形式にする

そこでまずは、ボールに番号を付け、それぞれのボールを入れることができる箱が何通りあるのか考えます。

選んだ箱に番号順でボールを入れる

1つ目のボールはどの箱にも入れられるので →$\large{10}\scriptsize{通り}$

2つ目のボールは1つ目で選んだところ以外に入れられるので →$\large{9}\scriptsize{通り}$

3つ目のボールは1つ目と2つ目で選んだところ以外に入れられるので →$\large{8}\scriptsize{通り}$

よって、3つの箱の選び方は、

$$\large{10}\scriptsize{通り}\times \large{9}\scriptsize{通り}\times \large{8}\scriptsize{通り}=\large{720}\scriptsize{通り}$$

となります。

しかし、これはボールに番号を付けてしまったので、箱を選ぶ順番まで指定してしまいます。

その結果、下のオレンジ色で囲われた2つの例は、組み合わせ的には同じであるにも関わらず、違うものとしてカウントされてしまっているのです。

2つの同じパターンの例

もちろん、この例だけでなく、他にもこのような重複はまだまだ起こるので、

答えは$\large{720}\scriptsize{通り}$よりもっと少なくなります。

次に、重複がどのくらい起きているのか考え、本当の答えを求めていきます。

例えば、適当に3箱(2番、7番、9番)を選んだとすると、

番号の付いたボールを、3個の箱に入れる入れ方は、

何種類の重複があるのか計算する

1つ目のボールはどの箱にも入れられるので →$\large{3}\scriptsize{通り}$

2つ目のボールは1つ目で選んだところ以外に入れられるので →$\large{2}\scriptsize{通り}$

3つ目のボールは残りの箱に入れるので →$\large{1}\scriptsize{通り}$

よって、 $\large{3}\scriptsize{通り}\times \large{2}\scriptsize{通り}\times \large{1}\scriptsize{通り}=\large{6}\scriptsize{通り}$ となります。

つまり、3つの箱を適当に選び、重複する数を考えると$\large{6}\scriptsize{通り}$だということになります。

6種類の同じ組み合わせが存在する

そして、6通りの重複があるなら、そのうち1つを数えればいいので、1/6になります

6種類の重複があるのでそのうち1つだけ数として数えればいい

ここで考えたいのは、3つの箱の組み合わせが2番、7番、9番でなくても同じように計算できる点です。

つまり、どんな3つの選び方の組み合わせでも6通りの重複があると分かるので、すべての組み合わせで数えるのは1/6になります

よって、答えは、

$$\frac{\normalsize{720}\scriptsize{通り}}{\normalsize{6}\scriptsize{通り}}=\large{120}\scriptsize{通り}$$

となります。

したがって、計算を短く書くために高校で、${}_{10}\mathrm{C}_{3}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}$を習います。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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