対数微分法の解き方(x^x , x^x^xなど例題あり)

数学
$(log\,y)’=\frac{y’}{y}\quad$(xで微分)

対数微分法で解く関数の形

対数微分法を使用して解くと解きやすくなる関数の形は、積もしくは商の形になっていて、累乗の形になっている関数です。

$\begin{align} &\cdot\quad y=x^2(x+1)\\ &\cdot\quad y=\sqrt[3]{\frac{(x+2)^3(x+1)}{x^2}}\\ &\cdot\quad y=x^x\\ &\cdot\quad y=x^{x^{x}} \end{align}$

1乗も累乗の1つです。

対数微分法の解き方

$y=\left\{f(x)\cdot g(x)\right\}^n\,$において、まずは「対数を取(る)」ります。

「対数を取る」とは、両辺に$\,log\,$を付ける方法です。また、この時、絶対値を必ずつけるようにします。

$$\begin{align}
&log\,|y|=n\,log\,|f(x)\cdot g(x)|\\
&log\,|y|=n\left\{log\,|f(x)|+log\,|g(x)|\right\}
\end{align}$$

この式を、xで微分することで、

$$\begin{align}
\frac{y’}{y}&=n\left\{\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}\right\}\\
y’&=n\left\{\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}\right\}\cdot y\\
y’&=n\left\{\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}\right\}\cdot \left\{f(x)\cdot g(x)\right\}^n
\end{align}$$

公式があるわけではありません。解き方の一連の流れを覚えておくことが重要です。

例題

次の関数を微分せよ。
$$y=x^2(x+1)$$

$$y=x^2(x+1)$$

両辺の絶対値の対数を取ると、

$$\begin{align}
log\,|y|&=\log\,|x^2(x+1)|\\
&=log\,|x^2|+log\,|x+1|\\
&=2\,log\,|x|+log\,|x+1|
\end{align}$$

ここで、両辺をxで微分すると、

$$\begin{align}
\frac{y’}{y}&=2\,log\,|x|+log\,|x+1|\\
&=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+1}\\
&=\frac{3x+2}{x(x+1)}
\end{align}$$

よって、

$$\begin{align}
y’&=\frac{3x+2}{x(x+1)}\cdot y\\
&=\frac{3x+2}{x(x+1)}\cdot x^2(x+1)\\
&=3x^2+2x
\end{align}$$

$$y=3x^2+2x$$

しかし、この問題においては対数微分法を使わないで解く方が一般的です。

対数微分法で解いても、同じ答えを求めることができることを知ってほしかったので、この問題を例題にしました。

対数微分法でない解き方

$$\begin{align} y’&=x^2(x+1)\\ &=2x(x+1)+x^2\cdot 1\\ &=2x^2+2x+x^2\\ &=3x^2+2x \end{align}$$

例題2からは、しっかりと対数微分法で解く方が楽になる問題になっています。

例題2

次の関数を微分せよ。
$$y=\sqrt[3]{\frac{(x+2)^3(x+1)}{x^2}}$$

$$y=\sqrt[3]{\frac{(x+2)^3(x+1)}{x^2}}$$

両辺の絶対値の対数を取ると、

$$log\,|y|=\frac{1}{3}\left\{3log\,|x+2|+log\,|x+1|-2\,log\,|x|\right\}$$

両辺をxで微分して、

$$\begin{align}
\frac{y’}{y}&=\frac{1}{3}\left\{\frac{3}{x+2}+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}\right\}\\
&=\frac{3x^2+2x-2}{3x(x+1)(x+2)}
\end{align}$$

よって、

$$\begin{align}
y’&=\frac{3x^2+2x-2}{3x(x+1)(x+2)}\cdot y\\
&=\frac{3x^2+2x-2}{3x(x+1)(x+2)}\sqrt[3]{\frac{(x+2)^3(x+1)}{x^2}}\\
&=\frac{3x^2+2x-2}{3\sqrt[3]{x^5(x+1)^2}}
\end{align}$$

$$y’=\frac{3x^2+2x-2}{3\sqrt[3]{x^5(x+1)^2}}$$

例題3($y=x^x$)

次の関数を微分せよ。
$$y=x^x\quad(x>0)$$

$$y=x^x$$

両辺の絶対値の対数を取ると、

$$log\,|y|=x\,log\,|x|$$

両辺をxで微分して、

$$\begin{align}
\frac{y’}{y}&=log\,|x|+x\cdot \frac{1}{x}\quad\quad(x>0)\\
&=log\,x+1
\end{align}$$

よって、

$$\begin{align}
y’&=(log\,x+1)\cdot y\\
&=(log\,x+1)x^x
\end{align}$$

$$y’=(log\,x+1)x^x$$

練習問題($y=x^{x^{x}}$)

次の関数を微分せよ。
$$y=x^{x^{x}}\quad(x>0)$$

例題3で求めた$\,(x^x)’=(log\,x+1)x^x\,$は使用して大丈夫です。

この問題に関しては、解き方は2つ紹介しておきます。

解き方1

$y=x^{x^{x}}$

両辺の絶対値の対数を取ると、

$log\,|y|=x^xlog\,|x|$

両辺をxで微分して、($x>0$)

$\begin{align} \frac{y’}{y}&=(x^x)’\cdot log\,x+x^x\cdot \frac{1}{x}\\ &=(log\,x+1)x^x\cdot log\,x+x^x\cdot \frac{1}{x}\\ &=x^x\left\{(log\,x)^2+log\,x+\frac{1}{x}\right\} \end{align}$

よって、

$\begin{align} y’&=x^x\left\{(log\,x)^2+log\,x+\frac{1}{x}\right\}\cdot y\\ &=x^x\cdot x^{x^{x}}\left\{(log\,x)^2+log\,x+\frac{1}{x}\right\} \end{align}$

$$y’=x^x\cdot x^{x^{x}}\left\{(log\,x)^2+log\,x+\frac{1}{x}\right\}$$
   

解き方2

$y=x^{x^{x}}$

両辺の絶対値の対数を取ると、($x>0$)

$log\,y=x^xlog\,x$

もう一度、両辺の絶対値の対数を取ると、($x>0$)

$\begin{align} log\,(log\,y)&=log\,(x^xlog\,x)\\ &=x\,log\,x+log\,(log\,x) \end{align}$

両辺をxで微分して、

$\begin{align} \frac{1}{log\,y}\cdot(log\,y)’&=log\,x+1+\frac{1}{log\,x}\cdot(log\,x)’\\ \frac{1}{log\,y}\cdot\frac{y’}{y}&=log\,x+1+\frac{1}{log\,x}\cdot\frac{1}{x} \end{align}$

よって、

$\begin{align} y’&=\left(log\,x+1+\frac{1}{x\,log\,x}\right)\cdot y\,log\,y\\ &=\left(log\,x+1+\frac{1}{x\,log\,x}\right)\cdot x^{x^{x}}\cdot x^xlog\,x\\ &=x^x\cdot x^{x^{x}}\left\{(log\,x)^2+log\,x+\frac{1}{x}\right\} \end{align}$

$$y’=x^x\cdot x^{x^{x}}\left\{(log\,x)^2+log\,x+\frac{1}{x}\right\}$$
   
次の関数を微分せよ。
$$y=\sqrt[6]{\frac{x^5}{(x-2)^3}}$$

$y=\sqrt[6]{\frac{x^5}{(x-2)^3}}$

両辺の絶対値の対数を取ると、

$log\,|y|=\frac{1}{6}(5\,log\,|x|-3\,log\,|x-2|)$

両辺をxで微分して、

$\begin{align} \frac{y’}{y}&=\frac{1}{6}\left(\frac{5}{x}-\frac{3}{x-2}\right)\\ &=\frac{1}{6}\left(\frac{2(x-5)}{x(x-2)}\right) \end{align}$

よって、

$\begin{align} y’&=\frac{1}{6}\left(\frac{2(x-5)}{x(x-2)}\right)\cdot y\\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{x-5}{x(x-2)}\right)\cdot \sqrt[6]{\frac{x^5}{(x-2)^3}}\\ &=\frac{x-5}{3\sqrt[6]{x(x-2)^9}} \end{align}$

$$y’=\frac{x-5}{3\sqrt[6]{x(x-2)^9}}$$
   

まとめ

「対数を取る」とは、両辺に$\,log\,$を付けることです。

対数微分法は、解く流れさえ分かれば意外と簡単です。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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