分数関数、無理関数、指数関数、対数関数のグラフ一覧

数学
・接線の求め方
・グラフの作り方

分数関数

分数の形になっている関数でそのままの意味です。


  • $y=\frac{1}{x^2-1}$
  • $y=\frac{x}{x^2-1}$
  • $y=\frac{x^2}{x^2-1}$
  • $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$
  • $y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$
など

$y=\frac{1}{x^2-1}$

分母が0にはならないので、$x^2-1\neq 0\,$より、$x\neq \pm1\,$となる。

$f(x)=\frac{1}{x^2-1}\,$と置くと、
$$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=0$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline x&\cdots&-1&\cdots&0&\cdots&1&\cdots\\ \hline f'(x)&+&&+&0&-&&- \\ \hline f(x)&↗&×&↗&-1&↘&×&↘ \\ \hline \end{array}$
また、漸近線の求め方より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\frac{f(x)}{x}=0\\ &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\left\{f(x)-0\cdot x\right\}=0 \end{align}$$ 漸近線が$\,y=0\,$と分かる。 そして、$f(x)=\frac{1}{(x+1)(x-1)}\,$より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→1+0}\,f(x)=∞\\ &\displaystyle\lim_{x→1-0}\,f(x)=-∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-1+0}\,f(x)=-∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-1-0}\,f(x)=∞\\ \end{align}$$ よって、
極大値$\quad -1\quad(x=0)$
漸近線は$\,y=0\,$と$\,x=\pm1$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=\frac{x}{x^2-1}$

分母が0にはならないので、$x^2-1\neq 0\,$より、$x\neq \pm1\,$となる。

$f(x)=\frac{1}{x^2-1}\,$と置くと、
$$f'(x)=\frac{-(x^2+1)}{(x^2-1)^2}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、ない
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccc|} \hline x&\cdots&-1&\cdots&1&\cdots\\ \hline f'(x)&-&&-&&- \\ \hline f(x)&↘&×&↘&×&↘ \\ \hline \end{array}$
また、漸近線の求め方より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\frac{f(x)}{x}=0\\ &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\left\{f(x)-0\cdot x\right\}=0 \end{align}$$ 漸近線が$\,y=0\,$と分かる。 そして、$f(x)=\frac{x}{(x+1)(x-1)}\,$より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→1+0}\,f(x)=∞\\ &\displaystyle\lim_{x→1-0}\,f(x)=-∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-1+0}\,f(x)=∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-1-0}\,f(x)=-∞\\ \end{align}$$ よって、
極値$\quad$なし
漸近線は$\,y=0\,$と$\,x=\pm1$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=\frac{x^2}{x^2-1}$

分母が0にはならないので、$x^2-1\neq 0\,$より、$x\neq \pm1\,$となる。

$f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}\,$と置くと、
$$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=0$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline x&\cdots&-1&\cdots&0&\cdots&1&\cdots\\ \hline f'(x)&+&&+&0&-&&- \\ \hline f(x)&↗&×&↗&0&↘&×&↘ \\ \hline \end{array}$
また、$f(x)=1+\frac{1}{(x+1)(x-1)}\,$となるので、漸近線の求め方より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\frac{f(x)}{x}=0\\ &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\left\{f(x)-0\cdot x\right\}=1 \end{align}$$ 漸近線が$\,y=1\,$と分かる。 そして、$f(x)=1+\frac{1}{(x+1)(x-1)}\,$より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→1+0}\,f(x)=∞\\ &\displaystyle\lim_{x→1-0}\,f(x)=-∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-1+0}\,f(x)=-∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-1-0}\,f(x)=∞\\ \end{align}$$ よって、
極大値$\quad 0\quad(x=0)$
漸近線は$\,y=1\,$と$\,x=\pm1$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$

分母が0にはならないので、$x-1\neq 0\,$より、$x\neq 1\,$となる。

$f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}\,$と置くと、
$$f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=0\,,\quad 2$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline x&\cdots&0&\cdots&1&\cdots&2&\cdots\\ \hline f'(x)&+&0&-&&-&0&+ \\ \hline f(x)&↗&-1&↘&×&↘&3&↗ \\ \hline \end{array}$
また、$f(x)=x+\frac{1}{x-1}\,$となるので、漸近線の求め方より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\frac{f(x)}{x}=1\\ &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\left\{f(x)-1\cdot x\right\}=0 \end{align}$$ 漸近線が$\,y=x\,$と分かる。 そして、$f(x)=x+\frac{1}{x-1}\,$より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→1+0}\,f(x)=∞\\ &\displaystyle\lim_{x→1-0}\,f(x)=-∞\\ \end{align}$$ よって、
極大値$\quad -1\quad(x=0)$
極小値$\quad 3\quad(x=2)$
漸近線は$\,y=x\,$と$\,x=1$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$

分母が0にはならないので、$x-1\neq 0\,$より、$x\neq 1\,$となる。

$f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}\,$と置くと、
$$f'(x)=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=0\,,\quad 3$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline x&\cdots&0&\cdots&1&\cdots&3&\cdots\\ \hline f'(x)&+&0&+&&-&0&+ \\ \hline f(x)&↗&0&↗&×&↘&\frac{27}{4}&↗ \\ \hline \end{array}$
また、$f(x)=x+2+\frac{5x-2}{(x-1)^2}\,$となるので、漸近線の求め方より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\frac{f(x)}{x}=1\\ &\displaystyle\lim_{x→\pm∞}\,\left\{f(x)-1\cdot x\right\}=2 \end{align}$$ 漸近線が$\,y=x+2\,$と分かる。 そして、$f(x)=x+2+\frac{5x-2}{(x-1)^2}\,$より、
$$\displaystyle\lim_{x→1}\,f(x)=∞\\$$ よって、
極小値$\quad \frac{27}{4}\quad(x=3)$
 ちなみに$\quad 0\quad(x=0)\,$は極値じゃない
漸近線は$\,y=x+2\,$と$\,x=1$

これらのことからグラフは上のようになる。    

無理関数

問題によって自分で定義域を設定して解く必要がある関数のことです。

$\sqrt{\quad}$(ルート)を含む関数であれば、ルートの中身がマイナスになることがありえないのでマイナスにならないようにxの定義域を設定するといった具合です。


  • $y=x+\sqrt{1-x^2}$
  • $y=x+\sqrt{x^2-1}$
  • $y^2=x^2(1-x^2)$
など

$y=x+\sqrt{1-x^2}$

定義域が、$1-x^2\geqq 0\,$より、$-1\leqq x\leqq 1$となる。

$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\,$と置くと、
$$\begin{align} f'(x)&=1+\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\\ &=\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、
$$\begin{align} \sqrt{1-x^2}-x&=0\\ \sqrt{1-x^2}&=x\\ 1-x^2&=x^2\\ x^2&=\frac{1}{2} \end{align}$$ $\sqrt{1-x^2}\geqq 0\,$より、$x\geqq 0\,$なので、
$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccc|} \hline x&-1&\cdots&\frac{\sqrt{2}}{2}&\cdots&1\\ \hline f'(x)&&+&0&-&& \\ \hline f(x)&-1&↗&\sqrt{2}&↘&1 \\ \hline \end{array}$
よって、
極大値$\quad \sqrt{2}\quad(x=\frac{\sqrt{2}}{2})$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=x+\sqrt{x^2-1}$

定義域が、$x^2-1\geqq 0\,$より、$x\leqq -1\,,\quad 1\leqq x$となる。

$f(x)=x+\sqrt{x^2-1}\,$と置くと、
$$\begin{align} f'(x)&=1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}\\ &=\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}} \end{align}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、
$$\begin{align} \sqrt{x^2-1}+x&=0\\ \sqrt{x^2-1}&=-x\\ x^2-1&=x^2\\ x^2&=\frac{1}{2} \end{align}$$ $\sqrt{x^2-1}\geqq 0\,$より、$-x\geqq 0\,$なので、$x\leqq 0\,$となり、
$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ ただし、定義域$\,x\leqq -1\,,\quad 1\leqq x\,$に含まれてないので、これも適さない。
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|cc|cc|} \hline x&\cdots&-1&1&\cdots\\ \hline f'(x)&-&&&+ \\ \hline f(x)&↘&-1&1&↗ \\ \hline \end{array}$
また、漸近線の求め方より、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{f(x)}{x}=2\\ &\displaystyle\lim_{x→∞}\,\left\{f(x)-2\cdot x\right\}=0 \end{align}$$ 漸近線が$\,y=2x\,$と分かる。もう1つ、
$$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→-∞}\,\frac{f(x)}{x}=0\\ &\displaystyle\lim_{x→-∞}\,\left\{f(x)-0\cdot x\right\}=0 \end{align}$$ 漸近線が$\,y=0\,$と分かる。 よって、
極値$\quad$なし
漸近線は$\,y=2x\,$と$\,y=0$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y^2=x^2(1-x^2)$

与式から、$y=\pm x\sqrt{1-x^2}\,$より、
定義域が、$1-x^2\geqq 0\,$より、$-1\leqq x\leqq 1$となる。

$f(x)=x\sqrt{1-x^2}\,$と置くと、
$$\begin{align} f'(x)&=\sqrt{1-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\\ &=\frac{-(2x^2-1)}{\sqrt{1-x^2}} \end{align}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、
$$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$ よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline x&-1&\cdots&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\cdots&\frac{\sqrt{2}}{2}&\cdots&1\\ \hline f'(x)&&-&0&+&0&-& \\ \hline f(x)&0&↘&-\frac{1}{2}&↗&\frac{1}{2}&↘&0 \\ \hline \end{array}$
よって、
極大値$\quad \frac{1}{2}\quad(x=\frac{\sqrt{2}}{2})$
極小値$\quad -\frac{1}{2}\quad(x=-\frac{\sqrt{2}}{2})$
これらのことからグラフは下のようになる。

また、$f(x)=x\sqrt{1-x^2}\,$においての図がこれだったので、符号が逆になった、$f(x)=-x\sqrt{1-x^2}\,$も考えると、x軸で対称になるので、

$y^2=x^2(1-x^2)\,$のグラフは上のようになる。    

指数関数

$a^x\,$が含まれる関数のことだが、$a=e\,$で今回は考えます。



  • $y=e^x$
  • $y=\frac{x}{e^x}$
  • $y=\frac{x^2}{e^x}$
  • $y=\frac{e^x}{x}$
  • $y=xe^x$
など

$y=e^x$

これに関してはグラフの書き方は特にありません。こういうグラフになると思っておけばいいと思います。

$y=\frac{x}{e^x}$

$f(x)=\frac{x}{e^x}=xe^{-x}\,$と置くと、
$$f'(x)=(1-x)e^{-x}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=1$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccc|} \hline x&\cdots&1&\cdots\\ \hline f'(x)&+&0&- \\ \hline f(x)&↗&\frac{1}{e}&↘ \\ \hline \end{array}$
また、 $$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{x}{e^x}=0\\ &\displaystyle\lim_{x→-∞}\,\frac{x}{e^x}=\displaystyle\lim_{x→∞}\,-xe^x=-∞ \end{align}$$ よって、
極大値$\quad \frac{1}{e}\quad(x=1)$
漸近線は$\,y=0$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=\frac{x^2}{e^x}$

$f(x)=\frac{x^2}{e^x}=x^2e^{-x}\,$と置くと、
$$f'(x)=x(2-x)e^{-x}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=0\,,\quad 2$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccc|} \hline x&\cdots&0&\cdots&2&\cdots\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&- \\ \hline f(x)&↘&0&↗&\frac{4}{e^2}&↘ \\ \hline \end{array}$
また、 $$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{x^2}{e^x}=0\\ &\displaystyle\lim_{x→-∞}\,\frac{x^2}{e^x}=\displaystyle\lim_{x→∞}\,(-x)^2e^x=∞ \end{align}$$ よって、
極大値$\quad \frac{4}{e^2}\quad(x=2)$
極小値$\quad 0\quad(x=0)$
漸近線は$\,y=0$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=\frac{e^x}{x}$

定義域は分母が0にならないので、$x\neq 0$
$f(x)=\frac{e^x}{x}\,$と置くと、
$$f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=1$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccccc|} \hline x&\cdots&0&\cdots&1&\cdots\\ \hline f'(x)&-&&-&0&+ \\ \hline f(x)&↘&×&↘&e&↗ \\ \hline \end{array}$
また、 $$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{e^x}{x}=∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-∞}\,\frac{e^x}{x}=\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{1}{-xe^x}=0\\ &\displaystyle\lim_{x→+0}\,\frac{e^x}{x}=\displaystyle\lim_{x→+0}\,\frac{1}{x}=∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-0}\,\frac{e^x}{x}=\displaystyle\lim_{x→-0}\,\frac{1}{x}=-∞\\ \end{align}$$ よって、
極小値$\quad e\quad(x=1)$
漸近線は$\,x=0\,$と$\,y=0$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=xe^x$

$f(x)=xe^x\,$と置くと、
$$f'(x)=(x+1)e^x$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=-1$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|ccc|} \hline x&\cdots&-1&\cdots\\ \hline f'(x)&-&0&+ \\ \hline f(x)&↘&-\frac{1}{e}&↗ \\ \hline \end{array}$
また、 $$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→∞}\,xe^x=∞\\ &\displaystyle\lim_{x→-∞}\,xe^x=\displaystyle\lim_{x→∞}\,-\frac{x}{e^x}=0\\ \end{align}$$ よって、
極小値$\quad -\frac{1}{e}\quad(x=-1)$
漸近線は$\,y=0$

これらのことからグラフは上のようになる。    

対数関数

$log_{a}\,x\,$が含まれる関数のことだが、$a=e\,$で今回は考えます。



  • $y=log\,x$
  • $y=x\,log\,x$
  • $y=\frac{log\,x}{x}$
など

$y=log\,x$

これに関してはグラフの書き方は特にありません。こういうグラフになると思っておけばいいと思います。

$y=x\,log\,x$

定義域は$\,x>0\,$
$f(x)=x\,log\,x\,$と置くと、
$$f'(x)=1+log\,x$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=\frac{1}{e}$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|cccc|} \hline x&0&\cdots&\frac{1}{e}&\cdots\\ \hline f'(x)&&-&0&+ \\ \hline f(x)&×&↘&-\frac{1}{e}&↗ \\ \hline \end{array}$
また、$log\,x=-t\,$として、$x=e^{-t}=\frac{1}{e^t}\,$より、 $$\begin{align} \displaystyle\lim_{x→∞}\,x\,log\,x&=\displaystyle\lim_{t→-∞}\,-\frac{t}{e^t}\\ &=\displaystyle\lim_{t→∞}\,te^t\\ &=∞\\\\ \displaystyle\lim_{x→+0}\,x\,log\,x&=\displaystyle\lim_{t→∞}\,-\frac{t}{e^t}\\&=0\\ \end{align}$$ よって、
極小値$\quad -\frac{1}{e}\quad(x=\frac{1}{e})$

これらのことからグラフは上のようになる。    

$y=\frac{log\,x}{x}$

定義域は$\,x>0\,$
$f(x)=\frac{log\,x}{x}\,$と置くと、
$$f'(x)=\frac{1-log\,x}{x^2}$$ $f'(x)=0\,$となるのは、$x=e$
よって、増減表は、
$\begin{array} {|c|cccc|} \hline x&0&\cdots&e&\cdots\\ \hline f'(x)&&+&0&- \\ \hline f(x)&×&↗&\frac{1}{e}&↘ \\ \hline \end{array}$
また、$log\,x=-t\,$として、$x=e^{-t}=\frac{1}{e^t}\,$より、 $$\begin{align} &\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{log\,x}{x}=\displaystyle\lim_{t→-∞}\,-te^t=\displaystyle\lim_{t→∞}\,\frac{t}{e^t}=0\\ &\displaystyle\lim_{x→+0}\,\frac{log\,x}{x}=\displaystyle\lim_{t→∞}\,-te^t=-∞\\ \end{align}$$ よって、
極大値$\quad \frac{1}{e}\quad(x=e)$
漸近線$\,x=0\,$と$\,y=0$

これらのことからグラフは上のようになる。    

まとめ

こんなグラフだったなあと思ってくれるだけで充分です。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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