【数列】一般項の求め方(等差数列と階差数列の例題)

数列の一般項の求め方のサムネ大学数学

この記事では、数列の一般項の求め方について解説します。

等差数列階差数列を例にして、一般項の求め方を説明しています。

実は、一般項を求めるのを苦手としている人は、数列に対して間違った考え方をしてしまっている可能性があります。

それをこの記事で正していきましょう。

数列で必要な Σ(シグマ)の公式

数列の一般項を求めるためにはΣ(シグマ)は必要不可欠であり、いくつかの公式は覚える必要があります。

しかし逆に、シグマをちゃんと使えれば、数列の一般項は求めることができるようになります。

では、シグマに関して覚えておかなければいけない公式5つは下に紹介しておきます。

Σ(シグマ)の5つの公式

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1=n$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$
  3. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
  4. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}$
  5. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=\frac{r^{n}-1}{r-1}$

ここでは詳しくやらないので、シグマの計算方法が曖昧な方、公式の使い方がよくわからない方は下記をご覧ください。

Σシグマの公式5つと基本的な計算方法

数列の一般項の求め方

ここからが本題です。

数列の一般項の求め方を例を使って説明します。

例題(等差数列)

次の数列の一般解を求めてください。

$$\large{2\quad 5\quad 8\quad 11\quad 14\quad \cdots}$$

最初が2で、3ずつ増える数列です。(初項2,公差3の等差数列とも言います。)

いきなりですが、数列の一般解を解くうえで、大事な解き方のポイントを説明します。

解き方のポイント

14を11+3と考えたり、8を5+3と考えたりしてはいけない。

必ず 14なら2+3+3+3+3 , 8なら2+3+3 というように考える。

初項2公差3で11+3=14

初項2公差3で2+3+3+3+3=14

よって、解き方のポイントを踏まえて、

14は数列でいうと5番目の数字なので、最初の2に、3を4回足してできる数字と考えます。

そうするとつまり、n番目の数字なら3は(n-1)回足されるため、数列のn番目の数は下のように表されます。

$$n番目の数=\,2+\underbrace{3+3+\cdots+3}_{(n-1)回}$$

ここまでが一般解を求めるための準備でした。

準備ができたら後はΣ(シグマ)を使って求めるだけです。

Σ(シグマ)とは、規則的にならんだ足し算を求めるための道具です。

よって、規則的に(n-1)回ならんだ3の足し算はシグマに変形できます。

$$n番目の数\,=\,\,2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3$$

後はシグマを計算します。

$$\begin{align} \quad n番目の数\,&=\,2+3\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1\\ &=\,2+3(n-1)\\[9pt] &=\color{red}{\underline{\,3n-1\quad\left(一般項\right)}_{//}} \end{align}$$

例題:階差数列

次に、階差数列と呼ばれる数列の一般項を求めます。

さっきの問題よりも計算の量は増えますが、同じようにして解けば難易度は変わりません。

例題(階差数列)

次の数列の一般解を求めてください。

$$\large{5\quad 8\quad 13\quad 20\quad 29\quad 40\quad\cdots}$$

この数列は、数列の差の差が2ずつ大きくなっている数列です。

例題の階差数列の数列の規則性を表した画像

※説明上1段目,2段目,3段目と設定し、色を付けた数字がいくつかあります。

まず、2段目について考えます。

[2段目]

$$\begin{align}n番目の数&=\color{#ff6675}{3}+\underbrace{2+2+\cdots+2}_{(n-1)個}\\&=3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2\\&=3+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1\\&=3+2(n-1)\\[9pt]&=2n+1\end{align}$$

2段目のn番目の数の式(一般項)は、2n+1と求められました。

次に3段目について考えます。

例えば、3段目の$4$番目の数字$20$であれば、$\color{#0c0}{5}+\color{#ff6675}{3}+5+7=20$と初項の$\color{#0c0}{5}$に、2段目の数字を$3$つ足すことでできるので、それを踏まえて以下のように解きます。

[3段目]

$$\begin{align}n番目の数&=\color{#0c0}{5}+\underbrace{\overbrace{(2\cdot 1+1)}^{\color{#ff6675}{3}}+\overbrace{(2\cdot 2+1)}^{5}+\cdots+\left\{2(n-1)+1\right\}}_{(n-1)個}\\&=5+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)\\&=5+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1\\&=5+2\cdot\frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)\\[8pt]&=5+n^{2}-n+n-1\\[10pt]&=\color{red}{\underline{n^{2}+4}_{//}}\end{align}$$

答えがあっていることを確かめる検算をしておきます。

検算

1番目$\quad n=1で\quad 1^{2}+4=5$
2番目$\quad n=2で\quad 2^{2}+4=8$
3番目$\quad n=3で\quad 3^{2}+4=13$
4番目$\quad n=4で\quad 4^{2}+4=20$

数列の数と一緒になりました!

よって、階差数列も解くことができました。

数列の一般項を求める他の問題や、数列の和を求める問題もどれも同じようにして解くことができます。

色々な問題を解いてみてください。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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