【数列】一般項を求めるのは簡単!?(等差数列と階差数列の例題)

数列の一般項の求め方のサムネ数列

数列の一般項の求め方について短く解説します。

解き方の例として、等差数列階差数列も載せてあるので理解しやすいと思います。

考え方を少し変えるだけで数列は解けるようになると知ることができるでしょう!

数列で必要な Σ(シグマ)の公式

数列の一般項を求めるためにはΣ(シグマ)が使えなければダメで、いくつかの公式は覚える必要があります。

ただし、逆にシグマさえ使えれば、数列の一般項は簡単に求めることができるようになります。

シグマで使えるようにしとくべき公式は5つです。

Σ(シグマ)の5つの公式

$①\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1=n$
$②\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$
$③\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$④\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}$
$⑤\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=\frac{r^{n}-1}{r-1}=\frac{1-r^{n}}{1-r}$

シグマがちょっと不安という人は下記を見てください。

Σシグマの公式5つと計算方法(証明、和の記号の意味)

この記事内でシグマについて困ったことがあれば全て載っています。

数列の一般項の求め方

ここからが本題で、数列の一般項の求め方を例を使って説明します。

$\large{\quad 2\quad 5\quad 8\quad 11\quad 14\quad \cdots}$

最初が2で、3ずつ増える数列です。(初項2,公差3の等差数列ともいう。)

ここで、次の考え方が数列の一般項を求めるにあたって一番重要なことです。

例えば、14を11+3と考えたり、8を5+3と考えたりしてはいけません。

必ず 14なら2+3+3+3+3 , 8なら2+3+3 というように考えます。

初項2公差3で11+3=14

初項2公差3で2+3+3+3+3=14

14は数列でいうと5番目の数字で、5番目だと3を4回足しています。

つまり、順番の数に対して3は(順番−1)回足すことになるので、n番目なら3は(n-1)回足されます

$\quad n番目の数\,=\,\,2+\underbrace{3+3+\cdots+3}_{(n-1)回}$

こうすることで、シグマを使い求めることができるようになります。

Σ(シグマ)は規則的にならんだ足し算を求めるための道具です。

よって、規則的に(n-1)回ならんだ3の足し算をシグマに変形します。

$\quad n番目の数\,=\,\,2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3$

あとは、公式が使える形に計算して求めるだけです。

$\begin{align}
\quad n番目の数\,&=\,2+3\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1\\
&=\,2+3(n-1)\\[9pt]
&=\color{red}{\underline{\,3n-1\quad\left(一般項\right)}_{//}}
\end{align}$

もちろん今のような等差数列であれば、公式があるため、公式を使って解くこともできますが、上のようにして解くことで、数列の他の問題にも対応しやすくなります。

例題:階差数列

次に、階差数列と呼ばれる数列の一般項を求めます。

さっきの問題よりも計算の量は増えますが、同じようにして解けば難易度は変わりません。

次の数列の一般項を求めなさい。

$\large{5\quad 8\quad 13\quad 20\quad 29\quad 40\quad\cdots}$

この数列は、数字の差の差が2ずつ大きくなっている数列です。

3段目 $\color{#0c0}{5}\quad 8\quad 13\quad 20\quad 29\quad 40$
2段目 $\hspace{14px}\color{#ff6675}{3}\hspace{23px}5\hspace{28px}7\hspace{31px}9\hspace{25px}11$
1段目 $\hspace{30px}2\hspace{27px}2\hspace{29px}2\hspace{30px}2$

説明上1段目,2段目,3段目と設定し、色を付けた数字がいくつかあります。

まず、2段目について考えます。

[2段目の]

$\begin{align}
\quad n番目の数\,&=\color{#ff6675}{3}+\underbrace{2+2+\cdots+2}_{(n-1)個}\\
&=3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2\\
&=3+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1\\
&=3+2(n-1)\\[9pt]
&=2n+1
\end{align}$

2段目のn番目の数の式は、2n+1と求められました。

次に3段目について考えます。

例えば、3段目の$4$番目の数字$20$であれば、$\color{#0c0}{5}+\color{#ff6675}{3}+5+7=20$と初項の$\color{#0c0}{5}$に、2段目の数字を$3$つ足すことでできるので、それを踏まえて以下のように解くことができます。

[3段目の]

$\begin{align}
\quad n番目の数\,&=\color{#0c0}{5}+\underbrace{\overbrace{(2\cdot 1+1)}^{\color{#ff6675}{3}}+\overbrace{(2\cdot 2+1)}^{5}+\cdots+\left\{2(n-1)+1\right\}}_{(n-1)個}\\
&=5+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)\\
&=5+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1\\
&=5+2\cdot\frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)\\[8pt]
&=5+n^{2}-n+n-1\\[10pt]
&=\underline{n^{2}+4}_{//}
\end{align}$

$\quad n^{2}+4$

検算
 1番目$\quad n=1で\quad 1^{2}+4=5$
 2番目$\quad n=2で\quad 2^{2}+4=8$
 3番目$\quad n=3で\quad 3^{2}+4=13$
 4番目$\quad n=4で\quad 4^{2}+4=20$

階差数列も解くことができました。

数列の一般項を求める他の問題や、数列の和を求める問題もどれも同じようにして解くことができます。

色々な問題を解いてみてください。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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