【極限】limsinx/x 1の証明|図でもって3分で解説する

数学
$\displaystyle\lim_{x→0}\,cos\,x=1$
$$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}=1$$

図形を使って証明する

まずは、分子を見ると$\quad sin\,x\quad$となっているので、xは角度として見ることができます。

そこで、中心角xの扇形OAPを考えます。(半径は適当にrにしています。)

次に、この扇形の点Aにおける接線と辺OPの延長との交点を点Tとします。

つまり、∠OAT=90°になっていて、最初にあった扇形を直角三角形がすっぽりと囲んでいる状態になります。

あと、点APを直線で結んでおきます。

ここで、3つの上の図にある3つの図形の面積について考えます。

「 △OAP , 扇形OAP , △OAT 」

3つの面積とは、この3つです。

それぞれの面積を計算をします。

面積の求め方を知りたい方はクリックを押して見てください。

△OAPの面積の求め方

点Pから辺OAに垂線を引き、交点を点Hとします。

直角三角形OHPにおいて、

$$sin\,x\,=\frac{PH}{r}$$

が成り立つので、三角形の高さである辺PHは、

$$PH=r\,sin\,x$$

となるので、三角形の面積は、底辺OA×高さPH$\times \frac{1}{2}\,$より、

$$△OAP=\frac{1}{2}r^2\,sin\,x$$

となる。

扇形OAPの面積の求め方

扇形の面積の求め方(公式)は、

「半径×半径×π×$\frac{x}{360°}$」

です。ここで、$360°=2π\,$なので、(半径=r(上の図より))

$$r\times r\times π\times\frac{x}{2π}=\frac{1}{2}r^2x$$

となるので、よって、

$$扇形OAP=\frac{1}{2}r^2x$$

となる。

△OATの面積の求め方

辺ATの長さをtとします。

直角三角形OAPにおいて、

$$tan\,x\,=\frac{t}{r}$$

が成り立つので、三角形の高さであるtは、

$$t=r\,tan\,x$$

となるので、三角形の面積は、底辺OA×高さt$\times \frac{1}{2}\,$より、

$$△OAT=\frac{1}{2}r^2tan\,x$$

となる。

3つの面積を図を見て見比べると、

$$△OAP\,<\,扇形OAP\,<△OAT$$

よって、

$$\frac{1}{2}r^2sin\,x\,<\,\frac{1}{2}r^2x\,<\,\frac{1}{2}r^2tan\,x$$

したがって、すべてに付いてる$\,\frac{1}{2}r^2\,$を取り除くと、

$$sin\,x\,<\,x\,<\,tan\,x$$

となり、xは0に限りなく近づけるだけであって、0にはならないので、$sin\,x\neq 0$であり、よって、$sin\,x$で割る。

$$1\,<\,\frac{x}{sin\,x}\,<\,\frac{1}{cos\,x}$$

最後に逆数を取ることで、(不等号が逆になる。)

$$\textcolor{red}{1\,>\,\frac{sin\,x}{x}\,>\,cos\,x}$$

となりました。この上の左右の式($\,1\, $と$\,cos\,x\,$)を$\,\displaystyle\lim_{x→0}\,$を付けて限りなくxを0に近づけた時の数値を計算します。

$$
\displaystyle\lim_{x→0}1=1\\\\
\displaystyle\lim_{x→0}cos\,x=1
$$

両方とも”1”になりました。そしたら先っきの、この式を見てほしいんですが、

$$\textcolor{red}{1\,>\,\frac{sin\,x}{x}\,>\,cos\,x}$$

これによると、$\frac{sin\,x}{x}$は$\,1\,$と$\,cos\,x\,$の間にあることになるので、$\,\displaystyle\lim_{x→0}\,$を付けた場合は、1と1の間にあることになり、

$$1\,>\,\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}\,>\,1$$

となるので、1と1の間は「$1$」ということで、


$$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}=1$$


となり、証明終了

1と1の間で「$1$」とするなら、$1\,\geqq\,\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}\,\geqq\,1$となるべきでは?と思う人がいるかもしれないので一応言っておくと、まず、$\displaystyle\lim_{x→0}$は、xを限りなく0に近づけるだけなので、$x=0$には決してなりません。よって、$cos\,x$が1になることはありません。よって、
$$1\,\geqq\,\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}\,\geqq\,0.99999$$
となることはあっても、
$$1\,\geqq\,\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}\,\geqq\,1$$
となることはありません。しかし、近似値を答えとするのが$\displaystyle\lim_{}$のルールなので上のような証明になっています。

$x→-0$のときの証明

さっき説明した証明ですが、実際には一か所不備があります。

というのも、図形を使って説明したので、$\displaystyle\lim_{\textcolor{red}{x→+0}}$しか証明できていません。(マイナスの大きさになる角度はありませんしね。)

$$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}=1$$

これを証明するには、

$$\displaystyle\lim_{\textcolor{red}{x→+0}}\frac{sin\,x}{x}=1$$

$$\displaystyle\lim_{\textcolor{blue}{x→-0}}\frac{sin\,x}{x}=1$$

この2つの証明が必要になります。

下の方の証明をします。

$x=-t$とおきかえて証明する

$x→-0$のとき、$x=-t$とおくと、$t→+0$であるから、

$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{x→-0}\frac{sin\,x}{x}&=\displaystyle\lim_{t→+0}\frac{sin(-t)}{-t}\\\\
&=\displaystyle\lim_{t→+0}\frac{-sin\,t}{-t}\\\\
&=\displaystyle\lim_{t→+0}\frac{sin\,t}{t}\\\\
&=1
\end{align}$$

よって、下の方の証明も完了。

どっちの証明も終わったので、

$$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}=1$$

が成り立つ。

練習問題

次の極限値を求めよ。 (1) $\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,6x}{x}$
$$\begin{align} \displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,6x}{x}&=\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,6x}{6x}\cdot 6\\\\ &=1\cdot 6\\\\ &=6 \end{align}$$
$6$
   
次の極限値を求めよ。 (2) $\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,2x}{sin\,3x}$
$$\begin{align} \displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,2x}{sin\,3x}&=\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,2x}{2x}\cdot 2\cdot \frac{3x}{sin\,3x}\cdot \frac{1}{3}\\\\ &=\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,2x}{2x}\cdot 2\cdot \frac{1}{\frac{sin\,3x}{3x}}\cdot \frac{1}{3}\\\\ &=1\cdot 2\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{3}\\\\ &=\frac{2}{3} \end{align}$$
$\frac{2}{3}$
   
次の極限値を求めよ。 (3) $\displaystyle\lim_{x→∞}x\,sin\frac{1}{x}$
$t=\frac{1}{x}$とおくと、$x→∞$のとき、$t→0$、よって、 $$\begin{align} \displaystyle\lim_{x→∞}x\,sin\frac{1}{x}&=\displaystyle\lim_{t→∞}\frac{sin\,t}{t}\\\\ &=1 \end{align}$$
$1$
   
次の極限値を求めよ。 (4) $\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\left(sin\frac{x}{π}\right)}{x}$
$$\begin{align} \displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\left(sin\frac{x}{π}\right)}{x}&=\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\left(sin\frac{x}{π}\right)}{sin\frac{x}{π}}\cdot \frac{sin\frac{x}{π}}{x}\\\\ &=\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\left(sin\frac{x}{π}\right)}{sin\frac{x}{π}}\cdot \frac{sin\frac{x}{π}}{\frac{x}{π}}\cdot \frac{1}{π}\\\\ &\quad x→0のとき、\frac{x}{π}→0\, , \,\frac{x}{π}→0、よって、\\\\ &=1\cdot 1\cdot \frac{1}{π}\\\\ &=\frac{1}{π} \end{align}$$
$\frac{1}{π}$
   

まとめ

$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}=1$

なかなか実際に問題を解いているときには、思いつくのが難しいものなので覚えておいた方がいいです。

面白い問題も多いのでいろいろ解いてみてください。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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