【積分】部分積分の公式とコツ 2度と解けなくならない。超簡単なやり方

数学
(1)積の微分(微分を勉強したことある人なら大体はできています。)
(2)$(logx)’=\frac{1}{x}$
(3)$(e^x)’=e^x$
(4)(sin,cosなどの微分など基礎的なこと)
部分積分の公式 $$\displaystyle\int_{}^{}f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)+\displaystyle\int_{}^{}f'(x)g(x)dx$$

【裏ワザ】部分積分の公式を暗記しない

まずは、これを見てください。

$$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

多くの人が特に問題なくできる微分だと思います。例を挙げるともっとよくわかると思いますので下に例を挙げておきます。

$$\left\{x^{2}(5x+3)\right\}’=2x(x+3)+5x^{2}$$

$$\scriptsize{(f(x)=x^{2}\quad,\quad g(x)=5x+3)}$$

この微分が問題なくできるのであれば部分積分法を覚えるのはとても簡単です。

さっきの微分の式 $\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ を積分します。

$$\displaystyle\int_{}^{}\left\{f(x)g(x)\right\}’=\displaystyle\int_{}^{}f'(x)g(x)+\displaystyle\int_{}^{}f(x)g'(x)$$ こうなりますが、一番左側 $\scriptsize{\displaystyle\int_{}^{}(-)’}$ は微分をして、積分した形になっているので、行って帰ってで元に戻ります。よって、上の式をこう書きかえれます。

$$f(x)g(x)=\displaystyle\int_{}^{}f'(x)g(x)+\displaystyle\int_{}^{}f(x)g'(x)$$ 順番を変えることで、 $$\displaystyle\int_{}^{}f(x)g'(x)=f(x)g(x)-\displaystyle\int_{}^{}f'(x)g(x))$$ こうなります。これが部分積分法の式です。

部分積分法を使用して問題を解く場合、この作業を最初から行うと暗記をしなくて済み汎用性が高くなります。

具体例(不定積分)

次の不定積分を求めよ。
$\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinxdx$

微分して$\scriptsize{(x+1)sinx}$が出てくる場合を考える

$-cosx$を微分すると$sinx$になることから

$-(x+1)cosx$を微分すれば、$(x+1)sinx$が出てくると考えます。


$$\left\{-(x+1)cosx\right\}’=-cosx+\textcolor{#ff0000}{(x+1)sinx}$$


両辺を積分をする

上の状態を作ることができたら、両辺を積分します。

(微分して積分すれば元に戻る。)


$$-(x+1)cosx=\displaystyle\int_{}^{}-cosx+\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx}$$


積分マークを付けたら順番を整えて、$\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx=$ の形にします。


$$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx}=-(x+1)cosx-\displaystyle\int_{}^{}-cosx$$


解説はここまでです。あとは $cosx$ を積分するだけです。


$$\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx=-(x+1)cosx+sinx+C$$


$\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx+sinx+C$

練習問題を下の方に用意してあります。

やってみてください。

具体例(定積分)

定積分でも最初にやることは不定積分と変わりません。

次の定積分を求めよ。
$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^xdx$

微分して$\scriptsize{xe^x}$が出てくる場合を考える

簡単に思いつくものが2つ。


$$\begin{eqnarray}
&①&(xe^x)’=e^x+\textcolor{#ff0000}{xe^x}\\\\
&②&\frac{1}{2}x^{2}e^x=\textcolor{#ff0000}{xe^x}+\frac{1}{2}x^{2}e^x
\end{eqnarray}$$


ただ、②では答えを求めることはできないので、①を使用します。

どちらで答えを出すことができるかの判断は特にありません。計算してみてうまくいかなければハズレと判断するだけです。

➀の両辺を積分する

(微分して積分したら元に戻る。)


$$xe^x=\displaystyle\int_{}^{}e^x+\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}xe^x}$$

$$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}xe^x}=xe^x-\displaystyle\int_{}^{}e^x$$


積分範囲を指定する

ここで積分範囲の指定をします。


$$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{0}^{1}xe^x}=\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}e^x$$


よって、あとは普通に定積分します。


$$\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{0}^{1}xe^x&=&\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}e^x\\\\
&=&\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\left[e^x\right]_{0}^{1}\\\\
&=&e-(e-1)\\\\
&=&1
\end{eqnarray}$$


$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^xdx=1$

練習問題

どのページにも2、3問用意するつもりです。

次の不定積分を求めよ。
$\displaystyle\int_{}^{}\, logx\,dx$
微分して、$logx$ になるものを考えます。

$$(xlogx)’=\textcolor{#ff0000}{logx}+x\cdot\frac{1}{x}$$

両辺を積分して、順番を整理する。

$$xlogx=\displaystyle\int_{}^{}\, logx+\displaystyle\int_{}^{}1$$
$$\begin{eqnarray} \displaystyle\int_{}^{}\, logx&=&xlogx-\displaystyle\int_{}^{}1\\\\ &=&xlogx-x+C \end{eqnarray}$$
$\mathcal{ANS.}\quad\underline{xlogx-x+C}_{//}$    
次の不定積分を求めよ。
$\displaystyle\int_{}^{}\, (logx)^2\,dx$
結論から言うと2回の部分積分法を使用します。

微分して、$(logx)^2$ になるものを考えます。

$$\left\{x(logx)^2\right\}’=\textcolor{#ff0000}{(logx)^2}+x\cdot\frac{2logx}{x}$$

両辺を積分して、順番を整理する。

$$x(logx)^2=\displaystyle\int_{}^{}\, (logx)^2+2\displaystyle\int_{}^{}\, logx$$
$$\displaystyle\int_{}^{}\, (logx)^2=x(logx)^2-\displaystyle\int_{}^{}\, logx$$
$\displaystyle\int_{}^{}\, logx$はいつ前の問題で解きました。それを使用して、

$$\begin{eqnarray} \displaystyle\int_{}^{}\, (logx)^2&=&x(logx)^2-2(xlogx-x)+C\\\\ &=&x\left\{(logx)^2-2logx+2\right\}+C \end{eqnarray}$$
$\mathcal{ANS.}\quad\underline{x\left\{(logx)^2-2logx+2\right\}+C}_{//}$    

まとめ

積の微分から部分積分をする方法

数学を勉強するのに暗記が増えるのはよくありません。できるだけすでに暗記している知識から結び付けて考えることを強くお勧めします。(持論です。)

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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