【漸化式】の解き方まとめ（重要な9つのパターン）

この記事では、漸化式を「基礎の型」「重要な型」「応用の型」に分けて、全9パターン解説します。

読むにあたり、漸化式の解くポイントとして、これを覚えておいてください。

「どんな漸化式でも、基礎の型まで式変形して解く。」です。

式変形の関係性としては以下の図のような感じです。

例えば、逆数型なら一度、特性型にして、それから、等比型にすることで、等比型の公式を利用して答えを求めます。

漸化式の基礎（3パターン）

漸化式の基礎の型は、3種類で「等差型」「階差型」「等比型」です。

ただし、「等差型」と「階差型」は、ほとんど同じなので、実質「等・階差型」「等比型」の2種類です。

漸化式の応用を解くために、必ず習得する必要があります。

等差型$a_{n+1}=a_{n}+d$・階差型$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$

等・階差型のポイント

$a_{n}$の前に係数（係数が1）がついていない形の漸化式が等差型・階差型になります。

$$\array{ &a_{n+1}=a_{n}+d\quad&\cdots\scriptsize{等差型}\\ &a_{n+1}=a_{n}+f(n)&\cdots\scriptsize{階差型} }$$

数列の形としては、ひとつ前の数字に$+d$や$+f(n)$すると次の数字になる漸化式です。

このような等差型・階差型の漸化式は、Σシグマを使って、

等差数列や階差数列を求めるときと同様に解きます。

等差数列、階差数列の求め方が分からない方は下記をご覧ください

【数列】一般項の求め方（等差数列・階差数列）

漸化式の形より、初項1、公差3の等差数列だと分かるので、

$$\begin{align}
a_{n}&=1+\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}3\\
&=1+3(n-1)\\[7px]
&=\color{red}{\underline{3n-2}_{//}}
\end{align}$$

漸化式の形より、初項1、ひとつ前の数字に2n+3をプラスすると次の数字なる階差数列だと分かるので、

$$\begin{align}
a_{n}&=1+\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}(2k+3)\\
&=1+2\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}k+\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}3\\
&=1+2\cdot\frac{1}{2}(n-1)n+3(n-1)\\[7px]
&=\color{red}{\underline{n^{2}+2n-2}_{//}}
\end{align}$$

Σの計算方法や公式を覚えていない人は、下記をご覧ください。

【数学】和の記号Σシグマ（公式5つ、基本計算、意味）

等比型$a_{n+1}=ra_{n}$

等比型のポイント

$a_{n}$の前に係数がついていて、＋○○がない漸化式が等比型になります。

$$a_{n+1}=ra_{n}$$

数列の形としては、ひとつ前の数字を$r$倍すると次の数字になる漸化式です。

※初項は3です。

等比型は、等比数列になります。

等比数列では、n番目の数字は、合計(n-1)回$\,r\,$倍してできる数字なので、一般項を求める公式が、

$$初項×r^{n-1}$$

になります。

よって、等比型は、この公式を使って解きます。

（1）漸化式の形より、初項3、公比2の等比数列だと分かるので、公式より、

$$a_{n}=\color{red}{\underline{3\cdot 2^{n-1}}_{//}}$$

（2）漸化式の形より、初項3、公比2の等比数列だと分かるので、公式より、

$$\begin{align}
a_{n}&=2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\\
&=\color{red}{\underline{\frac{2^{n}}{3^{n-1}}}_{//}}
\end{align}$$

漸化式の重要な型（1パターン）

基礎型以外の漸化式の解き方は、漸化式の式を基礎型まで変形し、基礎型の公式を適用することで解きます。

上の関係図を見てもらえば分かる通り、その変形をするうえで重要になってくるのが「特性型」です。

漸化式の応用問題では、途中「特性型」に変形してから、基礎型に変形して解くことが多くあります。

よって、「特性型」の解き方は、漸化式の中で覚える優先度が高いものになります。

特性型$a_{n+1}=pa_{n}+q$

特性型→等比型について

$$a_{n+1}=pa_{n}+q\\ \Downarrow\\ (a_{n+1}-α)=p(a_{n}-α)\\ \Downarrow\\ b_{n+1}=pb_{n}$$

上から順に式変形することで、等比型が得られます。

特性型から等比型への変換を二次方程式に例えると上の図のようになります。

二次方程式で、$\scriptsize{(x+3)^2+5(x+3)-6=0}$のような問題が出たら、文字で置いて、因数分解を解くと思います。

漸化式では、それにひと段階加わり、自分自身で文字で置くための変形をしなければいけなくなった感じです。

特性型がどんな形なのかをオレンジ色のボックスの中で説明し、

特性型から等比型への変換について黄色のボックスの中で説明しました。

例題を見て、さらに理解を深めてください。

特性型$a_{n+1}=2a_{n}-1$を等比型$(a_{n+1}-α)=2(a_{n}-α)$に変形するため、まず、逆算して$α$に入る値を求めます。

$$\begin{align}
(a_{n+1}-α)&=2(a_{n}-α)\\
a_{n+1}-α&=2a_{n}-2α\\
a_{n+1}&=2a_{n}-α
\end{align}$$

上の式が問題の特性型の式と同じになるには、

$$α=1$$

したがって、

$$\begin{align}
a_{n+1}&=2a_{n}-1\\
(a_{n+1}-1)&=2(a_{n}-1)
\end{align}$$

$b_{n}=a_{n}-1$とおくと、

$$b_{n+1}=2b_{n}$$

$b_{1}\scriptsize{=a_{1}-1=4-1=}\normalsize{3}$より、数列$\left\{b_{n}\right\}$は、初項3、公比2の等比数列（等比型）だと分かるので、

$$\begin{align}
b_{n}&=3\cdot2^{n-1}\\
a_{n}-1&=3\cdot2^{n-1}\\
a_{n}&=\color{red}{\underline{\,3\cdot2^{n-1}+1}_{//}}
\end{align}$$

まず、$α$に入る数字を逆算して求めます。

$$\begin{align}
(a_{n+1}-α)&=\frac{2}{3}(a_{n}-α)\\
a_{n+1}-α&=\frac{2}{3}a_{n}-\frac{2}{3}α\\
a_{n+1}&=2a_{n}+\frac{1}{3}α
\end{align}$$

よって、$\frac{1}{3}α=\frac{1}{4}$となるので、$α=\frac{3}{4}$より、

$$\begin{align}
a_{n+1}&=\frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{4}\\
(a_{n+1}-\frac{3}{4})&=\frac{2}{3}(a_{n}-\frac{3}{4})
\end{align}$$

$b_{n}=a_{n}-\frac{3}{4}$とおくと、

$$b_{n+1}=\frac{2}{3}b_{n}$$

$b_{1}\scriptsize{=a_{1}-\frac{3}{4}=3-\frac{3}{4}=}\normalsize{\frac{9}{4}}$より、数列$\left\{b_{n}\right\}$は、初項$\frac{9}{4}$、公比$\frac{2}{3}$の等比数列（等比型）だと分かるので、

$$\begin{align}
b_{n}&=\frac{9}{4}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\\
a_{n}-\frac{3}{4}&=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-3}\\
a_{n}&=\color{red}{\underline{\,\left(\frac{2}{3}\right)^{n-3}+\frac{3}{4}}_{//}}
\end{align}$$

漸化式の応用（5パターン）

この記事で解説する応用型は、全部で5種類です。

応用的な漸化式でも、やることは変わりません。

その漸化式を変形して、基礎型にして解きます。

+指数型$a_{n+1}=pa_{n}+q^n$

両辺を$3^{n+1}$で割り、$b_{n}=\frac{a_{n}}{3^n}$と置き換えます。

$$\color{red}{\begin{align}
a_{n+1}&=2a_{n}+3^n\\[7px]
\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}&=\frac{2}{3}\cdot\frac{a_{n}}{3^n}+\frac{1}{3}\\
b_{n+1}&=\frac{2}{3}b_{n}+\frac{1}{3}
\end{align}}$$

特性型になったので、等比型に変えます。

$$\begin{align}
b_{n+1}&=\frac{2}{3}b_{n}+\frac{1}{3}\\
(b_{n+1}-1)&=\frac{2}{3}(b_{n}-1)
\end{align}$$

$c_{n}=b_{n}-1$とおくと、

$$c_{n+1}=\frac{2}{3}c_{n}$$

$c_{1}\scriptsize{=b_{1}-1=\frac{a_{1}}{3}-1=}\normalsize{-\frac{2}{3}}$より、数列$\left\{c_{n}\right\}$は、初項$-\frac{2}{3}$、公比$\frac{2}{3}$の等比数列だと分かるので、

$$\begin{align}
c_{n}&=-\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\\
b_{n}-1&=-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\\
\frac{a_{n}}{3^n}&=-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+1\\
a_{n}&=3^{n}\left\{-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+1\right\}\\[7px]
a_{n}&=\color{red}{\underline{\,-2^{n}+3^{n}}_{//}}
\end{align}$$

逆数型$a_{n+1}=\frac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$

逆数を取り、$b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$と置き換えます。

$$\color{red}{\begin{align} a_{n+1}&=\frac{3a_{n}}{6-a_{n}}\\ \frac{1}{a_{n+1}}&=2\cdot\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{3}\\ b_{n+1}&=2b_{n}-\frac{1}{3} \end{align}}$$

特性型になったので、等比型に変えます。

$$\begin{align} b_{n+1}&=2b_{n}-\frac{1}{3}\\ (b_{n+1}-\frac{1}{3})&=2(b_{n}-\frac{1}{3}) \end{align}$$

$c_{n}=b_{n}-\frac{1}{3}$とおくと、

$$c_{n+1}=2c_{n}$$

$c_{1}\scriptsize{=b_{1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{3}=}\normalsize{\frac{2}{3}}$より、数列$\left\{c_{n}\right\}$は、初項$\frac{2}{3}$、公比$2$の等比数列だと分かるので、

$$\begin{align} c_{n}&=\frac{2}{3}\cdot 2^{n-1}\\ b_{n}-\frac{1}{3}&=\frac{2^{n}}{3}\\ \frac{1}{a_{n}}&=\frac{2^{n}}{3}+\frac{1}{3}\\ a_{n}&=\color{red}{\underline{\,\frac{3}{2^{n}+1}}_{//}} \end{align}$$

+f(n)型$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$

問題の式から、$a_{n+2}$と$a_{n+1}$の関係について考えます。

$$a_{n+2}=5a_{n+1}+4(n+1)+2\quad \cdots ①$$

①－問題の式をして、$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$と置き換えます。

$$\color{red}{\begin{align}
a_{n+2}&=5a_{n+1}+4(n+1)+2\\
-\big{)}\quad\quad\quad\quad a_{n+1}&=5a_{n}+4n+2\\
\hline
(a_{n+2}-a_{n+1})&=5(a_{n+1}-a_{n})+4\\
b_{n+1}&=5b_{n}+4
\end{align}}$$

特性型になったので、等比型に変えます。

$$\begin{align} b_{n+1}&=5b_{n}+4\\ (b_{n+1}+1)&=5(b_{n}+1) \end{align}$$

$c_{n}=b_{n}+1$とおくと、

$$c_{n+1}=5c_{n}$$

$c_{1}\scriptsize{=b_{1}+1=a_{2}-a_{1}+1=}\normalsize{11}$より、数列$\left\{c_{n}\right\}$は、初項$11$、公比$5$の等比数列だと分かるので、
※問題の文から$a_{1}=1$なので、$a_{2}=5a_{1}+4n+2=11$

$$\begin{align} c_{n}&=11\cdot 5^{n-1}\\ b_{n}+1&=11\cdot 5^{n-1}\\ a_{n+1}-a_{n}&=11\cdot 5^{n-1}-1\\ \color{red}{a_{n+1}}&\color{red}{=}\color{red}{a_{n}+11\cdot 5^{n-1}-1} \end{align}$$

＋f(n)型では、ここで終わりではなく、さらに計算をします。

$a_{n+1}=a_{n}+11\cdot 5^{n-1}-1$の形は、基本型で勉強した階差型になりますので、階差型の解き方を適用します。

よって、

$$\begin{align} a_{n}&=a_{1}+\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}(11\cdot 5^{k-1}-1)\\ &=1+11\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}5^{k-1}-\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}1\\ &=1+11\cdot\frac{5^{n-1}-1}{5-1}-(n-1)\\ &=\color{red}{\underline{\frac{11(5^{n-1}-1)}{4}-n+2}_{//}} \end{align}$$

3項間特性型$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$

3項間特性型$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_{n}$を$(a_{n+2}-αa_{n+1})=β(a_{n+1}-αa_{n})$に変形するため、まず、逆算して$α,\quad β$の値を求めます。

$$\begin{align} (a_{n+2}-αa_{n+1})&=β(a_{n+1}-αa_{n})\\ a_{n+2}&=(α+β)a_{n+1}-αβa_{n} \end{align}$$

上の式が問題の3項間特性型の式と同じになるには、

$$\color{red}{\begin{align}
&α+β=5\quad\cdots ①\\
&αβ=6\quad\cdots ②
\end{align}}$$

①より、$β=5-α$として、②に代入して、

$$\begin{align} (5-α)α&=6\\ α^2-5α-6&=0\\ (α-2)(α-3)&=0\\ α&=2,\quad 3 \end{align}$$

よって、

$$α=2,\quad β=3\\
\scriptsize{もしくは}\\
α=3,\quad β=2$$

になります。（どちらでも答えを求めることができますが、今回は上の方を使って解いていきます。）

したがって、

$$\begin{align}
a_{n+2}&=3a_{n+1}-4a_{n}\\
(a_{n+2}-2a_{n+1})&=3(a_{n+1}-2a_{n})
\end{align}$$

$b_{n}=a_{n+1}-2a_{n}$とおくと、

$$b_{n+1}=3b_{n}$$

$b_{1}\scriptsize{=a_{2}-2a_{1}=5-2=}\normalsize{3}$より、数列$\left\{b_{n}\right\}$は、初項3、公比3の等比数列だと分かるので、

$$\begin{align} b_{n}&=3\cdot3^{n-1}\\ a_{n+1}-2a_{n}&=3^{n}\\ a_{n+1}&=2a_{n}+3^{n} \end{align}$$

両辺を$3^{n+1}$で割り、$b_{n}=\frac{a_{n}}{3^n}$と置き換えます。

$$\begin{align}
a_{n+1}&=2a_{n}+3^n\\[7px]
\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}&=\frac{2}{3}\cdot\frac{a_{n}}{3^n}+\frac{1}{3}\\
b_{n+1}&=\frac{2}{3}b_{n}+\frac{1}{3}\\
(b_{n+1}-1)&=\frac{2}{3}(b_{n}-1)
\end{align}$$

$c_{n}=b_{n}-1$とおくと、

$$c_{n+1}=\frac{2}{3}c_{n}$$

$c_{1}\scriptsize{=b_{1}-1=\frac{a_{1}}{3}-1=}\normalsize{-\frac{2}{3}}$より、数列$\left\{c_{n}\right\}$は、初項$-\frac{2}{3}$、公比$\frac{2}{3}$の等比数列だと分かるので、

$$\begin{align}
c_{n}&=-\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\\
b_{n}-1&=-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\\
\frac{a_{n}}{3^n}&=-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+1\\
a_{n}&=3^{n}\left\{-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+1\right\}\\[7px]
a_{n}&=\color{red}{\underline{\,-2^{n}+3^{n}}_{//}}
\end{align}$$

連立型

①において、$b_{n}=,\quad$ $b_{n+1}=\,\,$を作ります。（後者は、前者の$n$を$n+1$にするだけです。）

$$\begin{align}
a_{n+1}&=5a_{n}-2b_{n}\\[7px]
b_{n}&=-\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{5}{2}a_{n}\\
b_{n+1}&=-\frac{1}{2}a_{n+2}+\frac{5}{2}a_{n+1}
\end{align}$$

これを、②に代入します。

$$\begin{align}
b_{n+1}&=a_{n}+2b_{n}\\[7px]
-\frac{1}{2}a_{n+2}+\frac{5}{2}a_{n+1}&=a_{n}-a_{n+1}+5a_{n}\\
-\frac{1}{2}a_{n+2}&=-\frac{7}{2}a_{n+1}+6a_{n}\\
a_{n+2}&=7a_{n+1}-12a_{n}
\end{align}$$

あとは、3項間特性型を解きます。

$$\begin{align}
a_{n+2}&=7a_{n+1}-12a_{n}\\
(a_{n+2}-3a_{n+1})&=4(a_{n+2}-3a_{n+1})
\end{align}$$

$c_{n}=a_{n+1}-3a_{n}$とおくと、

$$c_{n+1}=4c_{n}$$

$c_{1}\scriptsize{=a_{2}-3a_{1}=(5a_{1}-2b_{1})-3a_{1}=}\normalsize{4}$より、数列$\left\{c_{n}\right\}$は、初項4、公比4の等比数列だと分かるので、

$$\begin{align} c_{n}&=4\cdot4^{n-1}\\ a_{n+1}-3a_{n}&=4^{n}\\ a_{n+1}&=3a_{n}+4^{n} \end{align}$$

両辺を$4^{n+1}$で割り、$d_{n}=\frac{a_{n}}{4^n}$と置き換えます。

$$\begin{align}
a_{n+1}&=3a_{n}+4^n\\[7px]
\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}}&=\frac{3}{4}\cdot\frac{a_{n}}{4^n}+\frac{1}{4}\\
d_{n+1}&=\frac{3}{4}d_{n}+\frac{1}{4}\\
(d_{n+1}-1)&=\frac{3}{4}(d_{n}-1)
\end{align}$$

$e_{n}=d_{n}-1$とおくと、

$$e_{n+1}=\frac{3}{4}e_{n}$$

$e_{1}\scriptsize{=d_{1}-1=\frac{a_{1}}{4}-1=}\normalsize{-\frac{3}{4}}$より、数列$\left\{e_{n}\right\}$は、初項$-\frac{3}{4}$、公比$\frac{3}{4}$の等比数列だと分かるので、

$$\begin{align}
e_{n}&=-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\\
d_{n}-1&=-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\\
\frac{a_{n}}{4^n}&=-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}+1\\
a_{n}&=4^{n}\left\{-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}+1\right\}\\[7px]
a_{n}&=\color{red}{\underline{\,-3^{n}+4^{n}}_{//}}
\end{align}$$

よって、

$$\begin{align}
b_{n}&=-\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{5}{2}a_{n}\\
&=-\frac{1}{2}(-3^{n+1}+4^{n+1})+\frac{5}{2}(-3^{n}+4^{n})\\
&=\color{red}{\underline{\,-3^{n}+\frac{4^{n}}{2}}_{//}}
\end{align}$$

2つの答えを並べて書くと、

$$\color{red}{\begin{align}
a_{n}&=\underline{\,-3^{n}+4^{n}}_{//}\\
b_{n}&=\underline{\,-3^{n}+\frac{4^{n}}{2}}_{//}
\end{align}}$$

最後まで読んでいただきありがとうございます。