不定積分の公式(基本的なもの)

数学
微分

不定積分の公式一覧

(1)$\,x^a\,$の不定積分
 ・$a\neq -1\,$のとき $\displaystyle \int_{}^{}\,x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C$
 ・$a= -1\,$のとき $\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{x}dx=log|x|+C$

(2)指数関数の不定積分
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,a^xdx=\frac{a^x}{log\,a}+C\quad (a>0,\quad a\neq 1)$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,e^xdx=e^x+C$

(3)三角関数の不定積分
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,sin\,x\,dx=-cos\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,cos\,x\,dx=sin\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,-sin\,x\,dx=cos\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,-cos\,x\,dx=-sin\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{cos^2x}dx=tan\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{sin^2x}dx=-\frac{1}{tan\,x}+C$

積分を解くときには、この公式が分かっていれば、ほぼすべての高校生で習う積分の問題は解くことは可能です。

これらの公式は全て、微分の基本公式から求められます。

不定積分の解き方

積分を解くには、微分ができる必要があります。

微分の逆をすることが積分

積分とは

関数$\,F(x)\,$において

$F'(x)=f(x)\,$ならば、

$$\displaystyle \int_{}^{}\,f(x)dx=F(x)+C$$

(つまり、$\displaystyle \int_{}^{}\,F'(x)dx=F(x)+C$となり、微分された関数がもとに戻ることを考えればいいと分かります。)

ここまでの話から積分をするときは、微分を考えながら解くことが重要になります。

その点も含めて説明している例題を見てください。

例題

次の不定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{}^{}\,x\,dx$$

微分して$\,x\,$になるものを考えます。

そうすると、

$$(x^2)’=2x$$

おしい。よって、$\frac{1}{2}\,$します。

$$(\frac{1}{2}x^2)’=x$$

つまり、

$$\displaystyle \int_{}^{}\,x\,dx=\frac{1}{2}x^2+C$$

$$\frac{1}{2}x^2+C$$

不定積分の公式の証明

一覧にある積分の公式の証明をします。

(1)$\,x^a\,$の不定積分
 ・$a\neq -1\,$のとき $\displaystyle \int_{}^{}\,x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C$
 ・$a= -1\,$のとき $\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{x}dx=log|x|+C$

$(x^{a+1})’=(a+1)x^a\,$となるので、

$$(\frac{1}{a+1}x^{a+1})’=x^a$$

なので、$a\neq -1\,$のとき $\displaystyle \int_{}^{}\,x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C$

また、

$a= -1\,$のときは、$(x^{-1+1})’=(1)’\,$となり、微分しても$\,\frac{1}{x}\,$にはなりません。

なので、別の微分を考える必要があります。よって、

$$(log\,x)’=\frac{1}{x}$$

なので、$a= -1\,$のとき $\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{x}dx=log|x|+C$

(2)指数関数の不定積分
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,a^xdx=\frac{a^x}{log\,a}+C\quad (a>0,\quad a\neq 1)$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,e^xdx=e^x+C$

指数関数の微分の基本的な公式より、$(a^x)’=a^xlog\,a\,$となるので、

$$(\frac{a^x}{log\,a})’=a^x$$

なので、$\displaystyle \int_{}^{}\,a^xdx=\frac{a^x}{log\,a}+C$

また、

今証明したものを使用することで、$a\,$を$e\,$に変えると

$$\displaystyle \int_{}^{}\,e^xdx=\frac{e^x}{log\,e}+C$$

よって、$log\,e\,=1\,$なので、$\displaystyle \int_{}^{}\,e^xdx=e^x+C$

(3)三角関数の不定積分
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,sin\,x\,dx=-cos\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,cos\,x\,dx=sin\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,-sin\,x\,dx=cos\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,-cos\,x\,dx=-sin\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{cos^2x}dx=tan\,x+C$
 ・$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{sin^2x}dx=-\frac{1}{tan\,x}+C$

微分の関係性が上図の通りなので積分はその逆になります。

次に

$$\begin{align}
(tan\,x)’&=\left(\frac{sin\,x}{cos\,x}\right)’\\
&=\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}\\
&=\frac{1}{cos^2x}
\end{align}$$

よって、$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{cos^2x}dx=tan\,x+C$

また、

$$\begin{align}
\left(\frac{1}{tan\,x}\right)’&=\left(\frac{cos\,x}{sin\,x}\right)’\\
&=\frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}\\
&=-\frac{1}{sin^2x}
\end{align}$$

よって、$\displaystyle \int_{}^{}\,\frac{1}{sin^2x}dx=-\frac{1}{tan\,x}+C$

練習問題

次の不定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{}^{}\,\sqrt{x}\,dx$$
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\,$より、 $$\begin{align} \displaystyle \int_{}^{}\,x^{\frac{1}{2}}dx&=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+C\\ &=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C \end{align}$$
$$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$$
   
次の不定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{}^{}\,6^{x+1}\,dx$$
$6^{x+1}=6\cdot 6^{x}\,$より、 $$\begin{align} \displaystyle \int_{}^{}\,6\cdot 6^{x}dx&=6\cdot \frac{6^{x}}{log\,6}+C\\ &=\frac{6^{x+1}}{log\,6}+C \end{align}$$
$$\frac{6^{x+1}}{log\,6}+C$$
   

まとめ

微分の公式を覚えておけば積分の公式は覚えなくて大丈夫です。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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