【複素数平面】と【極形式】の2点を図・例題ありで解説

複素数平面と極形式のサムネ大学数学

この記事では、複素数平面極形式について解説します。

複素数平面は、複素平面ガウス平面とも呼ばれたりします。

例題を多く使用して説明しているので、初めて複素数平面や極形式を勉強する人でも分かりやすくなっています。

複素数平面とは?

複素数平面は、例題を見て理解します。

問題

$z=-2+3i\,$の点zを複素数平面上に表示してください。

解答

z=-2+3iの座標の画像

例題を見て、実数部分の-2は左右に、虚数部分の係数3は上下に関係していることが分かります。

複素数平面はその言葉通り複素数を平面の座標に置き換えることを指します。

1次関数や2次関数といった単元で、x軸y軸が交差している座標は多くの人がやっています。

複素数平面もそれと同じです。

ただ、違うのは、実数部分をx軸に反映させ、虚数部分($\,i\,$がついている部分)をy軸に反映させる点です。

複素数平面の基本形

$z=a+bi\,$となっていれば、$(a,\,b)\,$の座標になります。

z=a+biの座標の画像

ここまでの説明が、複素数を複素数平面に変換するやり方でした。

最後に、複素数平面の利点を説明します。

  • 複素数の問題への理解がしやすくなる

この1点です。

複素数は、抽象的なものなので、なかなか理解しにくいのですが、それを座標として考えることで複素数を具体的に考えることができるようになります。

人は具体的なものの方が理解しやすいので、具体的になるというのは大きなメリットです。

抽象的な範囲である複素数を、なるべく具体的に考え、

理解しやすくするためにあるもの、それが、複素数平面です。

複素数の極形式

ここからは、さらに、複素数平面を便利に使いやすくするための極形式というものについて説明します。

極形式とは、複素数を、原点からの距離と角度を使って表し直すことを指します。

極形式もそこまで理解が難しいものではないので例題を見てみましょう。

問題

$z=\sqrt{3}+i\,$の点zを極形式で表してください。

解答

極形式の説明に必要な画像1

$$\underline{z=2(cos\,30°\,+\,i\,sin\,30°)}_{//}$$

$z=\sqrt{3}+i\,$の位置は、図の赤点のところです。

赤点は、原点からの距離が2で、x軸とのなす角度が30°になっています。

よって、答えは、以上のようになりました。

極形式の基本形

$z=a+bi\,$を極形式で表します。

極形式の説明に必要な画像2

複素数$\,z=a+bi\,$を表す点Pと原点Oとの距離OPを$\,r\,$(r>0)、線OPがx軸となす角を$\,θ\,$とする。

そのとき、$\,a=r\,cos\,θ,$ $b=r\,sin\,θ\,$となるので、

$$\begin{align} z&=a+bi\\ &=r\,cos\,θ\,+r\,i\,sin\,θ\\ &=\underline{r(cos\,θ\,+\,i\,sin\,θ)}_{//} \end{align}$$

$z=r(cos\,θ\,+\,i\,sin\,θ)\,$
の形のことを極形式と言います。

また、$\,r\,$は点と点の距離にあたるので、三平方の定理を使えば簡単に求めることが可能で、以下の式で求めることができます。

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

最後に、極形式で出てくる用語「偏角(arg)」ついて解説します。

偏角(arg)とは?

まずは、偏角($arg$)についてです。

「極形式とは複素数を距離$\,r\,$と角度$\,θ\,$で表す式のこと」を言います。

そのうち、角度$\,θ\,$のことを$\,z\,$の偏角といい、$arg\,z\,$と書く場合があります

argは、英語で argument (=偏角) の略です。

$\,z=2(\,cos\,45°\,+\,i\,sin\,45°)\,$
のような極形式があるとすると、偏角は、

$$arg\,z\,=45°\,$$

と表されます。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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