複素数とは?虚数とは?何に使うの?の3つを解説

複素数の基本のサムネ大学数学

複素数虚数iがそれぞれ何なのかを説明し、

具体的に、どんなとき使われるのかも簡単に紹介します。

高校で習うときに、誰もが1度は苦戦するところです。

この記事を読めば、複素数と虚数を勉強する最良なスタートを切ることができると思います。

虚数とは?

虚数とは、「」構の「」字=存在しない数字のことです。

存在しない数字が何か?は、逆の、存在する数字と比較して説明します。

まず、存在する数字とは、実数のことです。(例:-6、1.23、$\pi$など)

実数では、すべての基準は$\,1\,$です。

それに対し、虚数は、アルファベットの$\,i\,$アイが基準になります。

実数でいうとこの「$1$」が、虚数での「$i$アイ」と同じになるということです。

「$\,i\,$って何?」

$$\LARGE{i\times i=-1}$$ $$\LARGE{i=\sqrt{-1}}$$

2乗して$\,-1\,$になる数字を$\,i\,$と言います。

もちろん普通は2乗したら必ずプラスになりますし、ルートの中身がマイナスになることもありませんが、それを”良し”としてしまおうと決めたのが$\,i\,$であり、

そして、$\,i\,$が含まれているときの数字を虚数と言います。

身近な場面で虚数が出てくるとすれば、解の公式です。

例:解の公式

$x^2+2x+5=0\,$を求めるとき、解の公式より、

$$\begin{align} x&=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{-2\pm \sqrt{-16}}{2}\\ &=\frac{-2\pm \sqrt{16}\cdot \sqrt{-1}}{2}\\ &=-1\pm 2\,i \end{align}$$

今までであれば「解なし」となっていましたが、虚数を勉強すると、

答えは、解なしとはならず、$x=-1\pm 2\,i\,$になります。

こんなの具体的に何に使うの?」というのは後程説明します。

複素数とは?

次は、複素数の説明です。

複素数と虚数の位置づけ

複素数とは、全ての数字のことを指します。

実数もそうですし、さっき説明した虚数も含まれます。

「複素数の基本形」

複素数は$\,z\,$と表し、

$$\large{z=a+bi}\normalsize{(a,\,bは実数)}$$

と表されるのが一般的です。

$\,b=0\,$であれば、$z=a\,$となり、複素数$\,z\,$は、実数になります。

また、$\,a=0\,$で、$z=bi\,$となる、実数がなく虚数しかないものは、純虚数と呼ばれます。

※$\,a=b=0\,$であれば、$z\,$はもちろん$0$です。

複素数、虚数ってどんなときに使うの?

虚数の$\,i\,$がいつ使われるのか説明します。

大学の範囲になってしまい、難しい内容ではありますができるだけ簡単に解説します。

虚数を使う問題の例(物理)
※摩擦や空気抵抗はないとする。

上の図は物理の範囲のバネの問題で出てくるような図ですが、

ここでは物理の計算をしたりはしないので安心してください。


バネにつながった球が ”どういう風に左右に動くのか” を表す式は、大学の物理の計算をすると、

$$\color{red}{\large{a^{\pm it}}}$$

と虚数$\,i\,$が含まれる式として求められます。

※$a\,$と$\,t\,$は適当な数値が入るんだろうなあと思っておいてくれれば大丈夫です。


球が$\,\large{a^{\pm it}}\,$この式に従って動くと分かったからなんだ(怒)と思うかもしれませんが、実は、これを

$$\color{red}{\large{a^{\pm it}\quad ⇒\quad sin\,t\,+cos\,t}}$$

と変えることができるんです。

こうすれば虚数も含まれていません。また、$sin\,t\,+cos\,t\,$をグラフにすると下のようになります。

sin t + cos t のグラフ

虚数の累乗の状態ではグラフを作ることなどできず、どういった動き方をするか分からなかったですが、

$sin\,t\,+cos\,t\,$をグラフで表したことで、球が周期的に動くことが分かりました。

つまり、球は左右に一定の速度で行ったり来たりすることが数式から分かるわけです。

球とグラフの関係

こんな使い方ができるから虚数$\,i\,$を作ってしまったわけです。


結論

虚数は答えとして使うためではなく、虚数を経由することで本当に求めたい答えを求めることができるので使われます。

虚数を使って解くとgood

しかし、高校では、虚数を具体的な何かに使うということは、残念ながらありません。

正直、高校でやる虚数の勉強は苦痛で仕方がないかもしれませんが頑張って耐えましょう。

最後に、大事なことを言います。

もちろん、上でした具体的にどんなときに虚数$\,i\,$を使うのかの説明は、

結構な部分で数値をはぶいているので細かい部分であっていると言いにくい部分があります。

参考程度に見ていただくようお願いします。

もっと詳しく知りたい方は、大学で「物理で使う微分について」と「二階線形微分方程式」などを調べて勉強してみてください。

最後まで読んでいただきありがとうございます。

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