【詳しく】同次形微分方程式の解き方(例題あり)

数学
$\displaystyle \int_{}^{}\frac{f'(x)}{f(z)}dz=log\left|f(x)\right|$

変数分離形を知っているとなお理解しやすくなると思いますが見なくても理解できます。

【詳しく】一階常微分方程式の変数分離形の解き方(具体例あり)
(1)積分定数の使い方:一般解に出てくる定数はCになる。(2)$\displaystyle \int_{}^{}\frac{f'(x)}{f(x)}=log\left|f(x)\right|\,$の積分。変数分離形の...

同次形の解き方

微分方程式の中で「同次形」は判別が難しい範囲かもしれません。

また、解き方にも工夫が必要です。

解き方は、$z=\frac{y}{x}\,$として、いろいろ変形して変数分離形に変形して解きます。

同次形のかたち

$$\textcolor{red}{\frac{dy}{dx}}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$

という形になっている微分方程式を「同次形」と言います。(この式に後々、代入して変形します。)

$\frac{y}{x}\,$の具体例としては、

$$f\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{y}{x}$$
$$f\left(\frac{y}{x}\right)=1+\left(\frac{y}{x}\right)^2$$

などがあります。あとで似たようなものの解き方を説明しています。

「同次形」の一般解の解き方は、まず、

$$z(x)=\frac{y}{x}$$

として、よって、

$$y=xz$$

とします。ここで、両辺を$\,x\,$で微分をすると、

$$\textcolor{red}{\frac{dy}{dx}}=z+x\frac{dz}{dx}$$

となります。同次形の赤い部分と同じになったので代入します。このとき、$\,z(x)=\frac{y}{x}\,$も代入します。よって、最初の同次形の式が下のように変形されます。

$$z+x\frac{dz}{dx}=f\left(z\right)$$

$$\frac{dz}{dx}=\frac{f\left(z\right)-z}{x}$$

となり、この形の微分方程式のことを変数分離形といい、変数分離形を解くように一般解を求めます。

$$\frac{1}{f\left(z\right)-z}dz=\frac{1}{x}dx$$

$$\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{f\left(z\right)-z}dz=\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{x}dx$$

ここからは実際に、数式が具体的にないと解くことが難しいので具体例込みで下で説明します。

やることとしては、両辺を積分して、$\,z→\frac{y}{x}\,$に戻します。そうすることで一般解を求めることができます。

【具体例】同次形の一般解

一番わかりやすい例から説明していきます。ただ、この例は実際には、同次形として解くよりも、変数分離形として解く方が簡単に解くことができます。

(例1)次の式の一般解を求めよ。

$$\textcolor{red}{\frac{dy}{dx}}=\frac{y}{x}$$

$z=\frac{y}{x}\,$と置き、この式を変形して微分します。

$$y=xz$$

$$\textcolor{red}{\frac{dy}{dx}}=z+x\frac{dz}{dx}$$

よって、問題の式にいろいろ代入する。

$$z+x\frac{dz}{dx}=z$$

$$x\frac{dz}{dx}=0$$

$$\displaystyle \int_{}^{}dz=\displaystyle \int_{}^{}0\cdot dx$$

$$z=C$$

ここで、$z→\frac{y}{x}\,$に戻します。

$$y=Cx$$

(例1の答え)
一般解:$y=Cx$

上の例は、「同次形」として解かない方がやりやすい例だったので今度はしっかりと「同次形」として解く微分方程式の具体例です。

(例2)次の式の一般解を求めよ。

$$\textcolor{red}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2$$

$z=\frac{y}{x}\,$と置き、この式を変形して微分します。

$$y=xz$$

$$\textcolor{red}{\frac{dy}{dx}}=z+x\frac{dz}{dx}$$

よって、問題の式にいろいろ代入する。

$$z+x\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}z^2$$

$$x\frac{dz}{dx}=\frac{z^2-2z+1}{2}$$

$$x\frac{dz}{dx}=\frac{(z-1)^2}{2}$$

$$\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{x}dx=\displaystyle \int_{}^{}\frac{2}{(z-1)^2}dz$$

$$log\left|x\right|=-\frac{2}{z-1}+C$$

ここで、$z→\frac{y}{x}\,$に戻します。

$$log\left|x\right|=-\frac{2x}{y-x}+C$$

(例2の答え)
一般解:$log\left|x\right|=-\frac{2x}{y-x}+C$
なんか途中で終わってないかと思う人もいるかもしれませんが、ここで終了して大丈夫です。というのも、ここから頑張って、計算すれば誰でも$\,y=\,$になると分かるところまで計算できていれば、その式を一般解と答えとしていいんです。誰でもとは、ポイントとしては、中学の勉強ができれば$\,y=\,$にできると分かるところまでです。

練習問題

次の式の一般解を求めよ。

$$2x^2\frac{dy}{dx}=x^2+y^2$$
一見、同次形に見えないですが、左辺にある$\,2x^2\,$を右辺に移項することで、同次形になります。

$$2x^2\frac{dy}{dx}=x^2+y^2$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2$$

となり、同次形になりました。そしてこの形は、具体例の(例2)と全く同じ形になります。あとは、具体例の(例2)を見てください。とここではしておきます。
一般解:$log\left|x\right|=-\frac{2x}{y-x}+C$
   
次の式の一般解を求めよ。

$$(3xy^2+x^2)\frac{dy}{dx}+2(y^3-x^2y)=0$$
$$(3xy^2+x^3)\frac{dy}{dx}+2(y^3-x^2y)=0$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-2(y^3-x^2y)}{3xy^2+x^3}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(\frac{y}{x}\right)^3+2\left(\frac{y}{x}\right)}{3\left(\frac{y}{x}\right)^2+1}$$
$z=\frac{y}{x}\,$と置き、この式を変形して微分します。
$$y=xz$$ $$\frac{dy}{dx}=z+x\frac{dz}{dx}$$ よって、最初の式に代入します。
$$\begin{align} z+x\frac{dz}{dx}&=\frac{-2z^3+2z}{3z^2+1}\\\\ x\frac{dz}{dx}&=\frac{-2z^3+2z}{3z^2+1}-z\\\\ x\frac{dz}{dx}&=\frac{z^3+z}{3z^2+1}\\\\ \end{align}$$
変数分離形になりました。積分します。
$$\begin{align} \displaystyle \int_{}^{}\frac{3z^2+1}{z^3+z}dz&=\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{x}dx\\\\ log\left|z^3+z\right|&=log\left|x\right|+C\\\\ log\left|\frac{z^3+z}{x}\right|&=C\\\\ \frac{z^3+z}{x}&=C\\\\ z^3+z}&=Cx \end{align}$$
ここで、$z→\frac{y}{x}\,$に戻します。
$$y^3+x^2y=Cx^4$$
一般解:$y^3+x^2y=Cx^4$
   

まとめ

右辺が、$f\left(\frac{y}{x}\right)\,$は同次形で、その場合の解き方は、
$$z=\frac{y}{x}$$ として、微分して代入できる形にする。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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