この記事では、√1+x^2の積分について2通りの方法で解説します。
2通りの方法とは、置換積分と部分積分での方法で、好きな方で覚えていただくと良いと思います。
最後には、例題も用意していますので、例題を見ながら理解していただくのもおすすめです。
1．$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\,dx$の積分
解き方として2つを説明します。
自分の好みの方でいいと思います。
- 置換積分で解く方法
- 部分積分法で解く方法
置換積分で解く方法
$$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\, dx\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{x=tanθ\quadと置き、\\dx=\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\begin{align}\sqrt{x^2+1}&=\sqrt{tan^{2}θ+1}\\&=\frac{1}{cosθ}\end{align}\\より}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cosθ}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos^{3}θ}dθ\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{分母、分子にcosθを掛け算して、}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{cos^{4}θ}dθ\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\quadより}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{(1-sin^{2}θ)^2}dθ\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{sinθ=t\quad と置き、\\cosθ\,dθ=dt\\これらより}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1-t^{2})^2}dt\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\left\{(1+t)(1-t)\right\}^2}dt\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\color{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\right\}^2dt\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\color{#e84747}{単純な2乗の計算をします。\\[7px](a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}}\\[7px] &=\frac{1}{4}\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{2}{(1+t)(1-t)}+\frac{1}{(1-t)^2}\right\}dt\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\color{#e84747}{\frac{2}{(1+t)(1-t)}=\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\[7px] &=\frac{1}{4}\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}+\frac{1}{(1-t)^2}\right\}dt\\[7px] &=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{1+t}-\frac{-1}{1-t}+log\left|1+t\right|-log\left|1-t\right|\right)+C\\[7px] &=\frac{1}{4}\frac{2t}{1-t^2}+\frac{1}{4}log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\frac{sinθ}{1-sin^{2}θ}+\frac{1}{4}log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|の分母、分子に1+sinθを掛け算する。\\また、sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\quadより}}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\frac{sinθ}{cos^{2}θ}+\frac{1}{4}log\left|\frac{(1+sinθ)^2}{(cosθ)^2}\right|+C\\[7px] &=\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{4}log\left(\frac{1+sinθ}{cosθ}\right)^2+C\\[7px] &=\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}log\frac{1+sinθ}{cosθ}+C\\[7px] &=\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{x=tanθと\\\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{cosθ}\quadより}}}\\[15px] &=\color{red}{\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}log\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+C}_{//}} \end{align}$$
部分積分法で解く方法
部分積分
$$\begin{align} (x\sqrt{x^2+1})’&=\color{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=(x\sqrt{x^2+1})’-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=(x\sqrt{x^2+1})’-\frac{(x^2+1)-1}{\sqrt{x^2+1}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=(x\sqrt{x^2+1})’-\color{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\[7px] 2\color{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=(x\sqrt{x^2+1})’+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1})’+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\[7px] 両辺積分&して、\\[7px] \displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\,dx&=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\\[7px] \end{align}$$
つまり、 $$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\,dx$$ を求めるには、 $$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$$ この式を解けばいいとなります。
その中でも計算が必要なのは、積分の部分だけなので、 $$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$$ この積分を解けばいいことになります。
ただこの式の計算は、結構大変なので別ページにあります。
$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$$
結論としては、上記のようになります。
よって、すべてをまとめると下記のようになります。 $$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\,dx\\[7px] &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\\[7px] &=\color{red}{\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C}_{//}} \end{align}$$
2．$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\,dx$の積分
1．と同じく解き方を2つ紹介します。
- 置換積分で解く方法
- 部分積分法で解く方法
置換積分で解く方法
$A=a^2$と仮定しておきます。
$$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\, dx\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{x=a\,tanθ\quadと置き、\\dx=a\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\begin{align}\sqrt{x^2+A}&=\sqrt{a^2tan^{2}θ+a^2}\\&=a\sqrt{tan^{2}θ+1}\\&=a\frac{1}{cosθ}\end{align}\\より}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}a\frac{1}{cosθ}\cdot a\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=a^2\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos^{3}θ}dθ \end{align}$$
途中の式について
$$ \displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos^{3}θ}dθ=\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)+C $$
となります。これは、1．のときに解いているのでここでは省略します。
省略した部分を見たい方はクリックを押してください。
$$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos^{3}θ}dθ\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{分母、分子にcosθを掛け算して、}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{cos^{4}θ}dθ\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\quadより}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{(1-sin^{2}θ)^2}dθ\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{sinθ=t\quad と置き、\\cosθ\,dθ=dt\\これらより}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1-t^{2})^2}dt\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\left\{(1+t)(1-t)\right\}^2}dt\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\color{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\right\}^2dt\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\color{#e84747}{単純な2乗の計算をします。\\[7px](a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}}\\[7px] &=\frac{1}{4}\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{2}{(1+t)(1-t)}+\frac{1}{(1-t)^2}\right\}dt\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\color{#e84747}{\frac{2}{(1+t)(1-t)}=\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\[7px] &=\frac{1}{4}\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}+\frac{1}{(1-t)^2}\right\}dt\\[7px] &=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{1+t}-\frac{-1}{1-t}+log\left|1+t\right|-log\left|1-t\right|\right)+C\\[7px] &=\frac{1}{4}\frac{2t}{1-t^2}+\frac{1}{4}log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\frac{sinθ}{1-sin^{2}θ}+\frac{1}{4}log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|の分母、分子に1+sinθを掛け算する。\\また、sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\quadより}}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\frac{sinθ}{cos^{2}θ}+\frac{1}{4}log\left|\frac{(1+sinθ)^2}{(cosθ)^2}\right|+C\\[7px] &=\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{4}log\left(\frac{1+sinθ}{cosθ}\right)^2+C\\[7px] &=\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}log\frac{1+sinθ}{cosθ}+C\\[7px] &=\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)+C \end{align}$$
よって、
$$\begin{align} &=a^2\left\{\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)\right\}+C\\[7px] &=\frac{1}{2}a^2tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}a^2log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{x=a\,tanθ\\\sqrt{x^2+A}=a\frac{1}{cosθ}\quadより}}}\\[7px] &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}a^2\,log\left(\frac{\sqrt{x^2+A}}{a}+\frac{x}{a}\right)+C\\[7px] &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(\sqrt{x^2+A}+x\right)-\frac{1}{2}A\,log\,a+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{\frac{1}{2}A\,log\,aはxに依存しない固定値なので}}\\[7px] &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(\sqrt{x^2+A}+x\right)+C’\\[7px] &=\color{red}{\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(\sqrt{x^2+A}+x\right)+C}_{//}} \end{align}$$
積分定数の文字自体は何でもいいので、C’をCに置き換えることができます。途中で出てきたCと答えにあるCは特に関係なく、別物だと思ってください。
部分積分法で解く方法
部分積分
$$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\,dx=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx$$
部分積分によって、上記のようになります。
つまり、 $$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\,dx$$ を求めるには、 $$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx$$ この式を解けばいいとなります。
その中でも計算が必要なのは、積分の部分だけなので、 $$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$$ この積分を解けばいいことになります。
ただこの式の計算は、結構大変なので別ページにあります。
$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)+C$$
結論としては、上記のようになります。
よって、すべてをまとめると下記のようになります。 $$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\,dx\\[7px] &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx\\[7px] &=\color{red}{\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)+C}_{//}} \end{align}$$
例題
問題1
次の積分を解いてください。
$$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+3}dx$$
部分積分
$$\begin{align} (x\sqrt{x^2+3})’&=\color{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=(x\sqrt{x^2+3})’-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=(x\sqrt{x^2+3})’-\frac{(x^2\color{#0000ff}{+3})\color{#0000ff}{-3}}{\sqrt{x^2+3}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=(x\sqrt{x^2+3})’-\color{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{3}{\sqrt{x^2+3}}\\[7px] 2\color{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=(x\sqrt{x^2+3})’+\frac{3}{\sqrt{x^2+3}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+3})’+\frac{1}{2}\frac{3}{\sqrt{x^2+3}}\\[7px] 両辺積分&して、\\[7px] \displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+3}\,dx&=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+3}+\frac{1}{2}\cdot3\,\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+3}}dx \end{align}$$
他ページで解説した下記の公式を使います。
$$\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted silver]{\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)+C}$$
よって、すべてをまとめると下記のようになります。 $$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+3}\,dx\\[7px] &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+3}+\frac{1}{2}\cdot3\,\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+3}}dx\\[7px] &=\color{red}{\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+3}+\frac{3}{2}\,log\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)+C}_{//}} \end{align}$$
問題2
次の積分を解いてください。
$$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{3x^2+2}dx$$
部分積分
$$\begin{align} (x\sqrt{3x^2+2})’&=\color{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}+\frac{3x^2}{\sqrt{3x^2+2}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=(x\sqrt{3x^2+2})’-\frac{3x^2}{\sqrt{3x^2+2}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=(x\sqrt{3x^2+2})’-\frac{(3x^2\color{#0000ff}{+2})\color{#0000ff}{-2}}{\sqrt{3x^2+2}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=(x\sqrt{3x^2+2})’-\color{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}+\frac{2}{\sqrt{3x^2+2}}\\[7px] 2\color{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=(x\sqrt{3x^2+2})’+\frac{2}{\sqrt{3x^2+2}}\\[7px] \color{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=\frac{1}{2}(x\sqrt{3x^2+2})’+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{3x^2+2}}\\[7px] 両辺積分&して、\\[7px] \displaystyle\int_{}^{}\sqrt{3x^2+2}\,dx&=\frac{1}{2}x\sqrt{3x^2+2}+\frac{1}{2}\cdot2\,\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{3x^2+2}}dx\\[7px] &=\frac{1}{2}x\sqrt{3x^2+2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}}dx \end{align}$$
他ページで解説した下記の公式を使います。
$$\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted silver]{\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)+C}$$
よって、すべてをまとめると下記のようになります。 $$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{3x^2+2}dx\\[7px] &=\frac{1}{2}x\sqrt{3x^2+2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}}dx\\[7px] &=\color{red}{\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{3x^2+2}+\frac{1}{\sqrt{3}} log\left(x+\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}\right)+C}_{//}} \end{align}$$
最後まで読んでいただきありがとうございました。
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