【難：積分】√1+x^2の積分、√A+x^2の積分、置換と部分積分の両方で解く

(1)置換積分　　(2)部分分数分解

(3)sin,cos,tan,logの基本的なこと

(4)$\scriptsize{\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C}$
　（別ページに解説あります。）

(5)部分積分法（別ページに解説あります。）

(1)$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\,dx$の積分

解き方として2つを説明します。

置換積分で解く方法
部分積分法で解く方法

1．置換積分で解く方法

$\begin{eqnarray}
&\qquad&\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\, dx\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{x=tanθ\quadと置き、\\dx=\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\sqrt{x^2+1}=\sqrt{tan^{2}θ+1}=\frac{1}{cosθ}\\これらより問題の式に戻り置換する。}}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cosθ}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos^{3}θ}dθ\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{分母、分子にcosθを掛け算して、}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{cos^{4}θ}dθ\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{(1-sin^{2}θ)^2}dθ\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{sinθ=t\quad と置き、\\cosθ\,dθ=dt\\これらより}}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1-t^{2})^2}dt\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\left\{(1+t)(1-t)\right\}^2}dt\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\right\}^2dt\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{単純な2乗の計算をします。\\(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}}\\\\
&=&\frac{1}{4}\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{2}{(1+t)(1-t)}+\frac{1}{(1-t)^2}\right\}dt\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{2}{(1+t)(1-t)}=\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\
&=&\frac{1}{4}\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}+\frac{1}{(1-t)^2}\right\}dt\\\\
&=&\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{1+t}-\frac{-1}{1-t}+log\left|1+t\right|-log\left|1-t\right|\right)+C\\\\
&=&\frac{1}{4}\frac{2t}{1-t^2}+\frac{1}{4}log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\frac{sinθ}{1-sin^{2}θ}+\frac{1}{4}log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|の分母、分子に1+sinθを掛け算する。\\また、sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\quadより}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\frac{sinθ}{cos^{2}θ}+\frac{1}{4}log\left|\frac{(1+sinθ)^2}{(cosθ)^2}\right|+C\\\\
&=&\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{4}log\left(\frac{1+sinθ}{cosθ}\right)^2+C\\\\
&=&\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}log\frac{1+sinθ}{cosθ}+C\\\\
&=&\frac{1}{2}tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{x=tanθと\\\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{cosθ}\quadより}}}\\\\
&=&\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}log\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

見やすくして、

$\begin{eqnarray}
&=&\underline{\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{x^2+1}+log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right\}+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

2．部分積分法で解く方法

部分積分のやり方（別ページで詳しく解説しています。）

【積分】部分積分の公式とコツ 2度と解けなくならない。超簡単なやり方

$\begin{eqnarray}
(x\sqrt{x^2+1})’&=&\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\\\\
\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=&(x\sqrt{x^2+1})’-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\\\\
\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=&(x\sqrt{x^2+1})’-\frac{(x^2+1)-1}{\sqrt{x^2+1}}\\\\
\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=&(x\sqrt{x^2+1})’-\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\\\
2\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=&(x\sqrt{x^2+1})’+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\\\
\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+1}}&=&\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1})’+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\\\
両辺積分して、\\\\
\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\,dx&=&\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\\\\
\end{eqnarray}$

部分積分は終わったので問題を解きます。

$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$
あとはこれを積分するだけだと分かりました。難しいので別ページで説明しています。

【難：積分】1/√1+x^2の積分、1/a+x^2の積分、2回の置換を行う

(1)置換積分　　(2)$(tanθ)'=\frac{1}{cos^{2}θ}$(3)+tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}$　(4)部分分数分解(5)(logやsin、cosなどの基礎的なこと)...

$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$$より

$\begin{eqnarray}
&\quad&\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+1}\,dx}\\\\
&=&\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\\\\
&=&\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

見やすくして、

$\begin{eqnarray}
&=&\underline{\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{x^2+1}+log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right\}+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

(2)$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\,dx$の積分

1．置換積分で解く方法

$A=a^2$と仮定しておきます。

$\begin{eqnarray}
&\qquad&\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\, dx\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{x=a\,tanθ\quadと置き、\\dx=a\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\sqrt{x^2+A}=a\sqrt{tan^{2}θ+1}=a\frac{1}{cosθ}\\これらより問題の式に戻り置換する。}}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}a\frac{1}{cosθ}\cdot a\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\\
&=&a^2\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos^{3}θ}dθ\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos^{3}θ}dθ\\これは（1）と同じです。}}}\\\\
\end{eqnarray}$

クリック

$\begin{eqnarray} &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{分母、分子にcosθを掛け算して、}}\\\\ &=&a^2\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{cos^{4}θ}dθ\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\quadより}}\\\\ &=&a^2\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{(1-sin^{2}θ)^2}dθ\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{sinθ=t\quad と置き、\\cosθ\,dθ=dt\\これらより}}}\\\\ &=&a^2\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1-t^{2})^2}dt\\\\ &=&a^2\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\left\{(1+t)(1-t)\right\}^2}dt\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\ &=&a^2\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\right\}^2dt\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{単純な2乗の計算をします。\\(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}}\\\\ &=&\frac{1}{4}a^2\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{2}{(1+t)(1-t)}+\frac{1}{(1-t)^2}\right\}dt\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{2}{(1+t)(1-t)}=\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\ &=&\frac{1}{4}a^2\displaystyle\int_{}^{}\left\{\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}+\frac{1}{(1-t)^2}\right\}dt\\\\ &=&\frac{1}{4}a^2\left(-\frac{1}{1+t}-\frac{-1}{1-t}+log\left|1+t\right|-log\left|1-t\right|\right)+C\\\\ &=&\frac{1}{4}a^2\frac{2t}{1-t^2}+\frac{1}{4}a^2log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\\\ &=&\frac{1}{2}a^2\frac{sinθ}{1-sin^{2}θ}+\frac{1}{4}a^2log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|の分母、分子に1+sinθを掛け算する。\\また、sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\quadより}}}\\\\ &=&\frac{1}{2}a^2\frac{sinθ}{cos^{2}θ}+\frac{1}{4}a^2log\left|\frac{(1+sinθ)^2}{(cosθ)^2}\right|+C\\\\ &=&\frac{1}{2}a^2tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{4}a^2log\left(\frac{1+sinθ}{cosθ}\right)^2+C\\\\ &=&\frac{1}{2}a^2tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}a^2log\frac{1+sinθ}{cosθ}+C\\\\ &=&\frac{1}{2}a^2tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}a^2log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)+C\\\\ \end{eqnarray}$ 　　　

途中式は省略します。クリックを押せば見られます。

$\begin{eqnarray}
&=&\frac{1}{2}a^2tanθ\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{2}a^2log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{x=a\,tanθと\\\sqrt{x^2+A}=a\frac{1}{cosθ}\quadより}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(\frac{\sqrt{x^2+A}}{a}+\frac{x}{a}\right)+C\\\\
&=&\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(\sqrt{x^2+A}+x\right)-\frac{1}{2}A\,log\,a+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{2}A\,log\,aはxに依存しない固定値なので}}\\\\
&=&\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(\sqrt{x^2+A}+x\right)+C’\\\\
\end{eqnarray}$

C’の積分定数の文字自体は何でもいいので、Cに置き換えることができます。見やすくするために余計な点を書かない方が主流です。よって、

$\begin{eqnarray}
&=&\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(\sqrt{x^2+A}+x\right)+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

だったりもっと見やすくして

$\begin{eqnarray}
&=&\underline{\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{x^2+A}+A\,log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)\right\}+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

2．部分積分法で解く方法

部分積分して、

$$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\,dx=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx$$

これなので、

$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx$
あとはこれを積分するだけだと分かりました。難しいので別ページで説明しています。

【難：積分】1/√1+x^2の積分、1/a+x^2の積分、2回の置換を行う

(1)置換積分　　(2)$(tanθ)'=\frac{1}{cos^{2}θ}$(3)+tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}$　(4)部分分数分解(5)(logやsin、cosなどの基礎的なこと)...

$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)+C$$より

$\begin{eqnarray}
&\quad&\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+A}\,dx}\\\\
&=&\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx\\\\
&=&\underline{\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A}+\frac{1}{2}A\,log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

見やすくして、

$\begin{eqnarray}
&=&\underline{\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{x^2+A}+A\,log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)\right\}+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

練習問題

どのページにも2，3問用意するつもりです。

$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+4}dx$

クリック

$\begin{eqnarray} (x\sqrt{x^2+3})’&=&\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\\\\ \textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=&(x\sqrt{x^2+3})’-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\\\\ \textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=&(x\sqrt{x^2+3})’-\frac{(x^2\textcolor{#0000ff}{+3})\textcolor{#0000ff}{-3}}{\sqrt{x^2+1}}\\\\ \textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=&(x\sqrt{x^2+3})’-\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{3}{\sqrt{x^2+3}}\\\\ 2\textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=&(x\sqrt{x^2+3})’+\frac{3}{\sqrt{x^2+3}}\\\\ \textcolor{#ff0000}{\sqrt{x^2+3}}&=&\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+3})’+\frac{1}{2}\frac{3}{\sqrt{x^2+3}}\\\\ 両辺積分して、\\\\ \displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2+3}\,dx&=&\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+3}+\frac{1}{2}\cdot3\,\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+3}}dx\\\\ \end{eqnarray}$
（部分積分はここまで）

他ページで解説したこの公式より、

$$\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted silver]{\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)+C}$$

$\begin{eqnarray} &=&\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+3}+\frac{1}{2}\cdot 3\,log\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)+C\\\\\\ &=&\underline{\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{x^2+3}+3\,log\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\right\}+C}_{//}\\\\ \end{eqnarray}$ 　　　

$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{3x^2+2}dx$

クリック

$\begin{eqnarray} (x\sqrt{3x^2+2})’&=&\textcolor{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}+\frac{3x^2}{\sqrt{3x^2+2}}\\\\ \textcolor{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=&(x\sqrt{3x^2+2})’-\frac{3x^2}{\sqrt{3x^2+2}}\\\\ \textcolor{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=&(x\sqrt{3x^2+2})’-\frac{(3x^2\textcolor{#0000ff}{+2})\textcolor{#0000ff}{-2}}{\sqrt{3x^2+2}}\\\\ \textcolor{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=&(x\sqrt{3x^2+2})’-\textcolor{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}+\frac{2}{\sqrt{3x^2+2}}\\\\ 2\textcolor{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=&(x\sqrt{3x^2+2})’+\frac{2}{\sqrt{3x^2+2}}\\\\ \textcolor{#ff0000}{\sqrt{3x^2+2}}&=&\frac{1}{2}(x\sqrt{3x^2+2})’+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{3x^2+2}}\\\\ 両辺積分して、\\\\ \displaystyle\int_{}^{}\sqrt{3x^2+2}\,dx&=&\frac{1}{2}x\sqrt{3x^2+2}+\frac{1}{2}\cdot2\,\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{3x^2+2}}dx\\\\ &=&\frac{1}{2}x\sqrt{3x^2+2}+\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}}dx\\\\ \end{eqnarray}$
（部分積分はここまで）

他ページで解説したこの公式より、

$$\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted silver]{\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+A}\right)+C}$$

$\begin{eqnarray} &=&\frac{1}{2}x\sqrt{3x^2+2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}} log\left(x+\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}\right)+C\\\\ &=&\underline{\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{3x^2+2}+\frac{2}{\sqrt{3}} log\left(x+\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}\right)\right\}+C}_{//}\\\\ \end{eqnarray}$
もしくは、

$\begin{eqnarray} &=&\underline{\frac{\sqrt{3}}{2}\left\{x\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}+\frac{2}{3} log\left(x+\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}\right)\right\}+C}_{//} \end{eqnarray}$ 　　　