【難:積分】1/cosθ(1/cosx)の積分、1/sinθ(1/sinx)の積分、2通りの解き方

数学
(1)置換積分  (2)部分分数分解

(3)$(tanθ)’=\frac{1}{cos^{2}θ}$  (4)$1+tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}$

(5)(logやsin、cosなどの基礎的なこと)
$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cosθ}dθ=\frac{1}{2}\log\frac{1+sinθ}{1-sinθ}+C\\\\ \displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{sinθ}dx=\frac{1}{2}\log\frac{1-cosθ}{1+cosθ}+C$$

(1)$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos\theta}d\theta$の積分

分母、分子に$cos\theta$を掛け算します。

じゃあさっそく解きます。

$\begin{eqnarray}
&\qquad&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos\theta}d\theta\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{分母、分子にcos\thetaをかけて、}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{cos\theta}{cos^{2}\theta}d\theta\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{cos\theta}{1-sin^{2}\theta}d\theta\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{sin\theta=t\quad,cos\theta d\theta=dt\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{1-t^{2}}dt\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1+t)(1-t)}dt\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\\\
&=&\frac{1}{2}\left(\log\left|1+t\right|-\log\left|1-t\right|\right)+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{-1\leqq sinθ\leqq1\\0\leqq1+sinθ\leqq2\\0\leqq1-sinθ\leqq2}\\
\textcolor{#e84747}{より、分母、分子両方が0以上なので、絶対値が外せる}}}\\\\
&=&\underline{\frac{1}{2}\log\frac{1+sinθ}{1-sinθ}+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

(2)$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{sin\theta}d\theta$の積分

$\begin{eqnarray}
&\qquad&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{sin\theta}d\theta\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{分母、分子にsin\thetaをかけて、}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{sin\theta}{sin^{2}\theta}d\theta\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{sin\theta}{1-cos^{2}\theta}d\theta\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{cos\theta=t\quad,-sin\theta d\theta=dt\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{-1}{1-t^{2}}dt\\\\
&=&-\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1+t)(1-t)}dt\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\
&=&-\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\\\
&=&-\frac{1}{2}\left(\log\left|1+t\right|-\log\left|1-t\right|\right)+C\\\\
&=&-\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=cosθ\quadより}}\\\\
&=&-\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+cosθ}{1-cosθ}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{-1\leqq cosθ\leqq1\\0\leqq1+cosθ\leqq2\\0\leqq1-cosθ\leqq2}\\
\textcolor{#e84747}{より、分母、分子両方が0以上なので、絶対値が外せる}}}\\\\
&=&\underline{-\frac{1}{2}\log\frac{1+cosθ}{1-cosθ}+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

この答えも正解ですが、自分は先頭にあるマイナスをlog内に入れた下の答えの方が好きです。

$\begin{eqnarray}
\quad &=&\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+cosθ}{1-cosθ}\right)^{-1}+C\\\\
&=&\underline{\frac{1}{2}\log\frac{1-cosθ}{1+cosθ}+C}_{//}
\end{eqnarray}$

計算の仕方によっては、この答えが先に出てくることもあります。

数学が得意な人でも知らない(1)、(2)の別解

$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cosθ}dθ=\log\left|\frac{1+tan\frac{θ}{2}}{1-tan\frac{θ}{2}}\right|+C\\\\ \displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{sinθ}dx=\log\left|tan\frac{θ}{2}\right|+C$$

別にこの解き方の方が簡単というわけでありません。こんな解き方もあるよってだけです。

また、上にある解き方より暗記が必要になります。

(1)を、$t=tan\frac{θ}{2}$で置換する

$
\qquad\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos\theta}d\theta\\\\
$

さっそく置換していきます。

$t=tan\frac{θ}{2}\qquad (1)\quad$と置きこれを微分します。

$\begin{eqnarray}
\frac{dt}{dθ}&=&\frac{1}{2}\frac{1}{cos^{2}\frac{θ}{2}}\\
dθ&=&2cos^{2}\frac{θ}{2}・dt\qquad (2)
\end{eqnarray}$



$
\scriptsize{1+tan^{2}A=\frac{1}{cos^{2}A}\quadより}\\\\
$

$\begin{eqnarray}
cos^{2}\frac{θ}{2}&=&\frac{1}{1+tan^{2}\frac{θ}{2}}\qquad \scriptsize{((1)より)}\\
&=&\frac{1}{1+t^{2}}\qquad (3)
\end{eqnarray}$



(2)に(3)を代入して、
$dx=\frac{2}{1+t^2}dt\qquad (4)$



$\scriptsize{cos2A=2cos^{2}A-1\quad より}$

$\begin{eqnarray}
cosθ&=&2cos^{2}\frac{θ}{2}-1\qquad \scriptsize{((3)を代入して)}\\
&=&\frac{2}{1+t^{2}}-1\\
&=&\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\qquad (5)
\end{eqnarray}$

ようやくすべての準備が終わったので、$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos\theta}d\theta$を変形していきます。

(4)と(5)を使用して、
$\begin{eqnarray}
&\qquad&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cos\theta}d\theta\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1+t^2}{1-t^2}・\frac{2}{1+t^2}dt\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{2}{1-t^2}dt\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{2}{(1+t)(1-t)}dt\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\\\
&=&\left(\log\left|1+t\right|-\log\left|1-t\right|\right)+C\\\\
&=&\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=tan\frac{θ}{2}\quadより}}\\\\
&=&\underline{\log\left|\frac{1+tan\frac{θ}{2}}{1-tan\frac{θ}{2}}\right|+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

(別解は一見、最初の解き方で出た答えと違うように思えますが、いじくりまくれば同じになります。)

(2)を、$t=tan\frac{θ}{2}$で置換する

$
\qquad\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{sin\theta}d\theta\\\\
$

さっそく置換していきます。

$t=tan\frac{θ}{2}\qquad (1)\quad$と置きこれを微分します。

$\begin{eqnarray}
\frac{dt}{dθ}&=&\frac{1}{2}\frac{1}{cos^{2}\frac{θ}{2}}\\
dθ&=&2cos^{2}\frac{θ}{2}・dt\qquad (2)
\end{eqnarray}$



$
\scriptsize{1+tan^{2}A=\frac{1}{cos^{2}A}\quadより}\\\\
$

$\begin{eqnarray}
cos^{2}\frac{θ}{2}&=&\frac{1}{1+tan^{2}\frac{θ}{2}}\qquad \scriptsize{((1)より)}\\
&=&\frac{1}{1+t^{2}}\qquad (3)
\end{eqnarray}$



(2)に(3)を代入して、
$dx=\frac{2}{1+t^2}dt\qquad (4)$



$\scriptsize{sin2A=2sinAcosA\quad より}$

$\begin{eqnarray}
sinθ&=&2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}\qquad \scriptsize{((3)を代入して)}\\
&=&2\frac{sin\frac{θ}{2}}{cos\frac{θ}{2}}・cos^{2}\frac{θ}{2}\\
&=&2tan\frac{θ}{2}cos^{2}\frac{θ}{2}\qquad \scriptsize{((1)と(3)を代入して)}\\
&=&\frac{2t}{1+t^2}\qquad (5)
\end{eqnarray}$

ようやくすべての準備が終わったので、$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{sin\theta}d\theta$を変形していきます。

(4)と(5)を使用して、
$\begin{eqnarray}
&\qquad&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{sin\theta}d\theta\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1+t^2}{2t}・\frac{2}{1+t^2}dt\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{t}dt\\\\
&=&log\left|t\right|+C
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=tan\frac{θ}{2}\quadより}}\\\\
&=&\underline{\log\left|tan\frac{θ}{2}\right|+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

(別解は一見、最初の解き方で出た答えと違うように思えますが、いじくりまくれば同じになります。)

練習問題

どのページにも2、3問用意するつもりです。

$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{3cosθ}dx$
$\frac{1}{3}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{cosθ}dx$

こうすれば、上の公式と同じになり簡単すぎるので、答えのみです。

$\mathcal{ANS.}\quad\underline{\frac{1}{6}\log\frac{1+sinθ}{1-sinθ}+C}_{//}$    
$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$

この練習問題は、今回の範囲を理解出来たら解くことができるようになる難問です。

答えは別ページに載っています。ぜひ解いて答え合わせしてみてください。

【難:積分】1/√1+x^2の積分、1/a+x^2の積分、2回の置換を行う
(1)置換積分  (2)$(tanθ)'=\frac{1}{cos^{2}θ}$(3)+tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}$ (4)部分分数分解(5)(logやsin、cosなどの基礎的なこと)...

まとめ

特になし

解き方を理解するのは重要だと思いますが、公式を暗記する必要はないですよ。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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