【積分】1/√1+x^2の積分、1/a+x^2の積分、2回の置換を行う

1/√1+x^2の積分大学数学

この記事では、特定の1/√1+x^2の積分について置換積分を2回行う方法で解説します。

また、置換積分を1回でのみ解ける簡略的な方法についても解説しています。

最後には、例題もありますので、例題を見ながら理解していただくのもおすすめです。

1.$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$の積分

$$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx\\[7px]
&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{\normalsize{x=tanθ\quadと置き、\\ dx=\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\quadより}}}\\[7px]
&=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\[7px]
&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{1+tan^{2}=\frac{1}{cos^{2}θ}\quadより}}\\[7px]
&=\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{cos^{2}θ}dθ\\[7px]
&=\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{1-sin^{2}θ}dθ\\[7px]
&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{\normalsize{sinθ=t\quadと置き、\\cosθdθ=dt\quadより}}}\\[7px]
&=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{1-t^{2}}dt\\[7px]
&=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1+t)(1-t)}dt\\[7px]
&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\color{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\[7px]
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\[7px]
&=\frac{1}{2}\left(\log\left|1+t\right|-\log\left|1-t\right|\right)+C\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\[7px]
&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\[7px]
&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{-1\leqq sinθ\leqq1\quad より\\0\leqq1+sinθ\leqq2\\0\leqq1-sinθ\leqq2\\
となるので、分母、分子両方が\\0以上なので、絶対値が外せる}}}\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\frac{1+sinθ}{1-sinθ}+C\\[7px]
&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{分母、分子に(1+sinθ)をかける}}\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{(1-sinθ)(1+sinθ)}+C\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{1-sin^{2}θ}+C\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{cos^{2}θ}+C\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+sinθ}{cosθ}\right)^2+C\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C\\[7px]
&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{tanθ=x}\\[7px]
\color{#e84747}{tan^{2}θ=x^2}\\[7px]
\color{#e84747}{1+tan^{2}θ=x^2+1}\\[7px]
\color{#e84747}{\frac{1}{cos^{2}θ}=x^2+1}\\[7px]
\color{#e84747}{\frac{1}{cosθ}=\sqrt{x^2+1}\quadより}}}\\[7px]
&=\frac{1}{2}\log\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)^2+C\\[20px]
&=\color{red}{\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C}_{//}\cdots【答】}\\[7px]
\end{align}$$

2.$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx$の積分

$$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{x=\color{blue}{a}\,tanθ\quadと置き、\\dx=\frac{\color{blue}{a}}{cos^{2}θ}dθ\quadより}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2(1+tan^{2}θ)}}\frac{a}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ \end{align}$$

途中の式について

$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C$$

となります。これは、1.のときに解いているのでここでは省略します。

省略した部分を見たい方はクリックを押してください。

$$\begin{align} &\quad\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{1+tan^{2}=\frac{1}{cos^{2}θ}\quadより}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{1-sin^{2}θ}dθ\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{\normalsize{sinθ=t\quadと置き、\\cosθdθ=dt\quadより}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{1-t^{2}}dt\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1+t)(1-t)}dt\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\color{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\[7px] &=\frac{1}{2}\left(\log\left|1+t\right|-\log\left|1-t\right|\right)+C\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{-1\leqq sinθ\leqq1\quad より\\0\leqq1+sinθ\leqq2\\0\leqq1-sinθ\leqq2\\
となるので、分母、分子両方が\\0以上なので、絶対値が外せる}}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\frac{1+sinθ}{1-sinθ}+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{分母、分子に(1+sinθ)をかける}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{(1-sinθ)(1+sinθ)}+C\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{1-sin^{2}θ}+C\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{cos^{2}θ}+C\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+sinθ}{cosθ}\right)^2+C\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C \end{align}$$

$$\begin{align} &=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{\color{blue}{a}\,tanθ=x\\tan^{2}θ=\left(\frac{x}{a}\right)^2\\1+tan^{2}θ=\frac{x^2}{a^{2}+1}\\\frac{1}{cos^{2}θ}=\frac{x^2+a^2}{a^2}\\\frac{1}{cosθ}=\sqrt{\frac{x^2+a^2}{a^2}}\quadより}}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\left(\sqrt{\frac{x^2+a^2}{a^2}}+\frac{x}{a}\right)^2+C\\[7px] &=\log\left(\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}\right)+C\\[7px] &=\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\log a+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{\log aはxに依存しない固定値なので}}\\[7px] &=\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C’\\[20px] &=\color{red}{\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C}_{//}\cdots【答】} \end{align}$$

積分定数の文字自体は何でもいいので、C’をCに置き換えることができます。途中で出てきたCと答えにあるCは特に関係なく、別物だと思ってください。

簡略的な 1.2.の積分の解き方

自分はあまりこのやり方が好きではありません。

置換の仕方が変わるんですが、置換のさせ方が完璧に知識勝負で、知らないと絶対できないやり方だからです。

ただ、知っていれば、上のより簡単に導くことができますので紹介しておきます。

$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx$$

を解いていきます。

簡略化のポイント

$t=x+\sqrt{x^2+a^2}$で置換します。この式を暗記していれば簡略化できます。

$$\begin{align} &\quad\quad\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\color{#e84747}{
\begin{align}
t&=x+\sqrt{x^2+a^2}\quad と置き、\\[7px]
\frac{dt}{dx}&=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\\[7px]
\frac{dt}{dx}&=\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+a^2}}\\[7px]
\frac{dt}{dx}&=\frac{t}{\sqrt{x^2+a^2}}\\[7px]
\frac{1}{t}dt&=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx
\quadより
\end{align}
}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{t}dt\\[7px] &=\log\left|t\right|\\[7px] &=\log\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{xがマイナスでも、\\\sqrt{x^2+a^2}\geqq\left|x\right|なので、\\x+\sqrt{x^2+a^2}\geqq0\quadより}}}\\[7px] &=\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C}_{//}\cdots【答】 \end{align}$$

$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1^2+x^2}}dx$の場合は、

最初の置換で、$t=x+\sqrt{x^2+1}$と置換します。

例題

問題1

次の積分を解いてください。

$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5+x^2}}dx$$

$$\begin{align} &\quad\quad \displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5+x^2}}dx\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{x=\sqrt{5}tanθ\quadと置き、\\dx=\frac{\sqrt{5}}{cos^{2}θ}dθ\quad より}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5(1+tan^{2}θ)}}\frac{\sqrt{5}}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{\sqrt{5}}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] \end{align}$$

1.2.の途中式と全く同じなので、ここでは省略します。

これを押すと、2.の該当する途中式のところに飛びます。

$$\begin{align} &=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{\sqrt{5}tanθ=x\\ tan^{2}θ=\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)^2\\ 1+tan^{2}θ=\frac{x^2}{5}+1\\ \frac{1}{cos^{2}θ}=\frac{x^2+5}{5}\\ \frac{1}{cosθ}=\sqrt{\frac{x^2+5}{5}}\quadより}}}\\[7px] &=\frac{1}{2}\log\left(\sqrt{\frac{x^2+5}{5}}+\frac{x}{\sqrt{5}}\right)^2+C\\[7px] &=\log\left(\frac{x+\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{5}}\right)+C\\[7px] &=\log\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)-\log \sqrt{5}+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{\log \sqrt{5}はxに依存しない\\固定値なので}}}\\[7px] &=\log\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)+C’\\[15px] &=\color{red}{\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)+C}_{//}\cdots【答】} \end{align}$$

問題2

次の積分を解いてください。

$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2+3x^2}}dx$$

$$\begin{align} &\quad\quad \displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2+3x^2}}dx\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{x=\sqrt{\frac{2}{3}}tanθ\quadと置き、\\dx=\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\quad より}}}\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2+3(\frac{2}{3}tan^{2}θ)}}\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{2(1+tan^{2}θ)}}\frac{\sqrt{2}}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{\sqrt{2}}{cos^{2}θ}dθ\\[7px] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ \end{align}$$

1.2.の途中式とほとんど同じで、$\frac{1}{\sqrt{3}}$がかけられているだけなので、ここでは省略します。

これを押すと、2.の該当する途中式のところに飛びます。

$$\begin{align} &=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{\sqrt{\frac{2}{3}}tanθ=x\\ tan^{2}θ=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)^2\\ 1+tan^{2}θ=\frac{3}{2}x^2+1\\ \frac{1}{cos^{2}θ}=\frac{3x^2+2}{2}\\ \frac{1}{cosθ}=\sqrt{\frac{3x^2+2}{2}}\quadより}}}\\[7px] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}\log\left(\sqrt{\frac{3x^2+2}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)^2+C\\[7px] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\log\left(\frac{\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}}{\sqrt{2}}\right)+C\\[7px] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}\log \sqrt{2}+C\\[7px] &\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\color{#e84747}{\frac{1}{\sqrt{3}}\log \sqrt{2}はxに依存しない\\固定値なので}}}\\[7px] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}\right)+C’\\[15px] &=\color{red}{\underline{\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}\right)+C}_{//}\cdots【答】} \end{align}$$

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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