【難:積分】1/√1+x^2の積分、1/a+x^2の積分、2回の置換を行う

数学
(1)置換積分  (2)$(tanθ)’=\frac{1}{cos^{2}θ}$

(3)$1+tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}$ (4)部分分数分解

(5)(logやsin、cosなどの基礎的なこと)
$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C\\\\ \displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$$

(1)$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$の積分

じゃあ、さっそく解きます。

$\begin{eqnarray}&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{x=tanθ\quad,dx=\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\quadより}}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\\\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{1+tan^{2}=\frac{1}{cos^{2}θ}\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{cos^{2}θ}dθ\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{1-sin^{2}θ}dθ\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{sinθ=t\quad,cosθdθ=dt\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{1-t^{2}}dt\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1+t)(1-t)}dt\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\\\
&=&\frac{1}{2}\left(\log\left|1+t\right|-\log\left|1-t\right|\right)+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{-1\leqq sinθ\leqq1\\0\leqq1+sinθ\leqq2\\0\leqq1-sinθ\leqq2}\\
\textcolor{#e84747}{より、分母、分子両方が0以上なので、絶対値が外せる}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\frac{1+sinθ}{1-sinθ}+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{分母、分子に(1+sinθ)をかける}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{(1-sinθ)(1+sinθ)}+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{1-sin^{2}θ}+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{cos^{2}θ}+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+sinθ}{cosθ}\right)^2+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{tanθ=x}\\
\textcolor{#e84747}{tan^{2}θ=x^2}\\
\textcolor{#e84747}{1+tan^{2}θ=x^2+1}\\
\textcolor{#e84747}{\frac{1}{cos^{2}θ}=x^2+1}\\
\textcolor{#e84747}{\frac{1}{cosθ}=\sqrt{x^2+1}\quadより}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)^2+C\\\\
&=&\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

(2)$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx$の積分

$\begin{eqnarray}
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{x=\textcolor{#4169e1}{a}tanθ\quad,dx=\frac{\textcolor{#4169e1}{a}}{cos^{2}θ}dθ\quadより}}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2(1+tan^{2}θ)}}\frac{a}{cos^{2}θ}dθ\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\\\end{eqnarray}$


$\begin{eqnarray}&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{1+tan^{2}=\frac{1}{cos^{2}θ}\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{cos^{2}θ}dθ\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{cosθ}{1-sin^{2}θ}dθ\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{sinθ=t\quad,cosθdθ=dt\quadより}}\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{1-t^{2}}dt\\\\
&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{(1+t)(1-t)}dt\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\scriptsize{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\quadより\\(これを部分分数分解といいます)}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\\\
&=&\frac{1}{2}\left(\log\left|1+t\right|-\log\left|1-t\right|\right)+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=sinθ\quadより}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+sinθ}{1-sinθ}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{-1\leqq sinθ\leqq1\\0\leqq1+sinθ\leqq2\\0\leqq1-sinθ\leqq2}\\
\textcolor{#e84747}{より、分母、分子両方が0以上なので、絶対値が外せる}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\frac{1+sinθ}{1-sinθ}+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{分母、分子に(1+sinθ)をかける}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{(1-sinθ)(1+sinθ)}+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{1-sin^{2}θ}+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\frac{(1+sinθ)^2}{cos^{2}θ}+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+sinθ}{cosθ}\right)^2+C\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C\\\\\end{eqnarray}$

   
途中式は①の場合と同じなので省略します。クリックを押せば見られます。

$\begin{eqnarray}&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{\textcolor{#4169e1}{a}tanθ=x}\\
\textcolor{#e84747}{tan^{2}θ=\left(\frac{x}{a}\right)^2}\\
\textcolor{#e84747}{1+tan^{2}θ=\frac{x^2}{a^2}+1}\\
\textcolor{#e84747}{\frac{1}{cos^{2}θ}=\frac{x^2+a^2}{a^2}}\\
\textcolor{#e84747}{\frac{1}{cosθ}=\sqrt{\frac{x^2+a^2}{a^2}}\quadより}}}\\\\
&=&\frac{1}{2}\log\left(\sqrt{\frac{x^2+a^2}{a^2}}+\frac{x}{a}\right)^2+C\\\\
&=&\log\left(\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}\right)+C\\\\
&=&\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\log a+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{\log aはxに依存しない固定値なので}}\\\\
&=&\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C’\\\\
\end{eqnarray}$

C’の積分定数の文字自体は何でもいいので、Cに置き換えることができます。見やすくするために余計な点を書かない方が主流です。よって、

$\begin{eqnarray}
&=&\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C}_{//}\\\\
\end{eqnarray}$

簡略的(1)、(2)の積分方法

自分はあまりこのやり方が好きではありません。置換の仕方が変わるんですが、置換のさせ方が完璧知識勝負で、知らないと絶対できないやり方だからです。

ただ、知っていれば、上のより簡単に導くことができますので紹介しておきます。

$$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx$$

を解いていきます。

$\quad\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{t=x+\sqrt{x^2+a^2}}}$

と置換します。(どっから持ってきたんこの式?って私は思っちゃうんですよね)

$\begin{eqnarray}\quad\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{t=x+\sqrt{x^2+a^2}\\\\
\frac{dt}{dx}=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\\\\
\frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+a^2}}\\\\
\frac{dt}{dx}=\frac{t}{\sqrt{x^2+a^2}}\\\\
\frac{1}{t}dt=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx
\quadより
}}}
\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx&=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{t}dt\\\\
&=&\log\left|t\right|\\\\
&=&\log\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C\\\\
&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{xがマイナスでも、\\\sqrt{x^2+a^2}\geqq\left|x\right|なので、\\x+\sqrt{x^2+a^2}\geqq0\quadより}}}\\\\
&=&\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C}_{//}
\end{eqnarray}$


$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1^2+x^2}}dx$の場合は、

${t=x+\sqrt{x^2+1}}$で置換するだけです。

練習問題

どのページにも2、3問用意するつもりです。

$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5+x^2}}dx$
$\begin{eqnarray} &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{x=\sqrt{5}tanθ\quad,dx=\frac{\sqrt{5}}{cos^{2}θ}dθ}\end{eqnarray}$

これで置換して、(1)や(2)のように計算していけば答えを出すことができます。

$\mathcal{ANS.}\quad\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)+C}_{//}\\\\$
$\begin{eqnarray} \displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5+x^2}}dx &=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5(1+tan^{2}θ)}}\frac{\sqrt{5}}{cos^{2}θ}dθ\\\\ &=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{\sqrt{5}}{cos^{2}θ}dθ\\\\ &=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\\\end{eqnarray}$
(1)や(2)と全く一緒なので省略します。

$\begin{eqnarray}&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{\sqrt{5}tanθ=x}\\ \textcolor{#e84747}{tan^{2}θ=\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)^2}\\ \textcolor{#e84747}{1+tan^{2}θ=\frac{x^2}{5}+1}\\ \textcolor{#e84747}{\frac{1}{cos^{2}θ}=\frac{x^2+5}{5}}\\ \textcolor{#e84747}{\frac{1}{cosθ}=\sqrt{\frac{x^2+5}{5}}\quadより}}}\\\\ &=&\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2+C\\\\ &=&\frac{1}{2}\log\left(\sqrt{\frac{x^2+5}{5}}+\frac{x}{\sqrt{5}}\right)^2+C\\\\ &=&\log\left(\frac{x+\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{5}}\right)+C\\\\ &=&\log\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)-\log \sqrt{5}+C\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{\log \sqrt{5}はxに依存しない固定値なので}}\\\\ &=&\log\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)+C’\\\\ \end{eqnarray}$ $\mathcal{ANS.}\quad\underline{\log\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)+C}_{//}\\\\$    
   
$\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2+3x^2}}dx$
$\begin{eqnarray} &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{x=\sqrt{\frac{2}{3}}tanθ\quad,dx=\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ}\end{eqnarray}$

これで置換して、(1)や(2)のように計算していけば答えを出すことができます。

$\mathcal{ANS.}\quad\underline{\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}\right)+C}_{//}\\\\$または $\mathcal{ANS.}\quad\underline{\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(x+\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}\right)+C}_{//}\\\\$
$\begin{eqnarray} \displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2+3x^2}}dx &=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2+3(\frac{2}{3}tan^{2}θ)}}\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{cos^{2}θ}dθ\\\\ &=&\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{2(1+tan^{2}θ)}}\frac{\sqrt{2}}{cos^{2}θ}dθ\\\\ &=&\frac{1}{\sqrt{3}}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{\sqrt{2}}{cos^{2}θ}dθ\\\\ &=&\frac{1}{\sqrt{3}}\displaystyle\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}θ}}\frac{1}{cos^{2}θ}dθ\\\\\end{eqnarray}$
(1)や(2)とほとんど一緒なので省略します。($\frac{1}{\sqrt{3}}$がかけられただけ)

$\begin{eqnarray}&\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\normalsize{\textcolor{#e84747}{\sqrt{\frac{2}{3}}tanθ=x}\\ \textcolor{#e84747}{tan^{2}θ=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)^2}\\ \textcolor{#e84747}{1+tan^{2}θ=\frac{3}{2}x^2+1}\\ \textcolor{#e84747}{\frac{1}{cos^{2}θ}=\frac{3x^2+2}{2}}\\ \textcolor{#e84747}{\frac{1}{cosθ}=\sqrt{\frac{3x^2+2}{2}}\quadより}}}\\\\ &=&\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{cosθ}+tanθ\right)^2\right)+C\\\\ &=&\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2}\log\left(\sqrt{\frac{3x^2+2}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)^2\right)+C\\\\ &=&\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(\frac{\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}}{\sqrt{2}}\right)+C\\\\ &=&\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}\log \sqrt{2}+C\\\\ &\quad&\bbox[#fff, 5pt, border: 2px dotted red]{\textcolor{#e84747}{\frac{1}{\sqrt{3}}\log \sqrt{2}はxに依存しない固定値なので}}\\\\ &=&\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}\right)+C’\\\\ \end{eqnarray}$ $\mathcal{ANS.}\quad\underline{\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+2}\right)+C}_{//}\\\\$または
(解き方を変えたら、下の答えが先に出てくるかも) $\mathcal{ANS.}\quad\underline{\frac{1}{\sqrt{3}}\log\left(x+\sqrt{x^2+\frac{2}{3}}\right)+C}_{//}\\\\$    
   

まとめ

特になし

解き方を理解するのは重要だと思いますが、公式を暗記する必要はないですよ。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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