【双曲線】漸近線の求め方(導出方法あり)5分でわかる

数学
特になし
双曲線の漸化式
$$y=\pm \frac{b}{a}x$$

双曲線の漸近線

双曲線の方程式の標準形

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$

漸近線の式は、

$$y=\pm \frac{b}{a}x$$
導出方法

双曲線の漸近線は、上の公式を使用することで求められます。

具体例で説明します。

$9x^2-4y^2=36$の漸近線を求めよ。

まずは、双曲線の方程式の標準形にします。

問題の式を36で割って、

$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$$

$4=2^2 , 9=3^2$なので、

$$\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$$

よって、$a=2 , b=3$

漸近線の式 $y=\pm \frac{b}{a}x$ に代入して、

$$y=\pm \frac{3}{2}x$$

$y=\pm \frac{3}{2}x$

練習問題

第1問

$x^2-16y^2=16$の漸近線を求めよ。
問題の式を16で割って、

$$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{1^2}=1$$

よって、$a=4 , b=1$

漸近線の式 $y=\pm \frac{b}{a}x$ に代入して、

$$y=\pm \frac{1}{4}x$$
$y=\pm \frac{1}{4}x$
   

第2問

$9x^2-2y^2=-18$の漸近線を求めよ。
問題の式を18で割って、

$$\frac{x^2}{\sqrt{2}^2}-\frac{y^2}{3^2}=-1$$

よって、$a=\sqrt{2} , b=3$

漸近線の式 $y=\pm \frac{b}{a}x$ に代入して、

$$y=\pm \frac{3}{\sqrt{2}}x$$

有理化して、

$$y=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}x$$
$y=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}x$
   

双曲線の方程式の導出方法(双曲線とは)

双曲線とはこんな形の関数のことを指します。

もうちょっと詳しく説明していきます。

そのために、少し遠回りにはなりますがまず楕円を考えます。楕円から考えていく理由は、楕円の方がとっつきやすいかな?と思うからです。

楕円は焦点が2つあります。その焦点をF(エフ)、F’(エフダッシュ)とします。

その、F、F’からの距離の和が一定であるような点の軌跡が楕円になります。(この点をPとする。)

これを式にすると、


PF+PF’=(一定)


とこうなります。

ここからみんながよく知った


$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$


この式が導かれます。(ここでは導出はしません。)

双曲線は楕円とちょっと違うだけ

上にも書きましたが、楕円は、PF+PF’=(一定)、です。

それに対して、双曲線は、


|PF-PF’|=(一定)


特定の点Pが、PFとPF’の差が一定になるときの軌跡が双曲線の形です。

このことから、双曲線の方程式の標準形を導くことができます。

双曲線の方程式の標準形

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$
導出方法が知りたい人はクリックを押してください。

($\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$)

アルファベット、$a,r,x,y$は上の図が示す各点の座標です。

点$A$の位置から|PF($a+r+a$)-PF'($r$)|=$2a$であることが分かります。よって、


$\left|\sqrt{(x-r)^2+y^2}-\sqrt{(x+r)^2+y^2}\right|=2a$


絶対値を外して、


$\sqrt{(x-r)^2+y^2}-\sqrt{(x+r)^2+y^2}=\pm 2a$

$\sqrt{(x-r)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+r)^2+y^2}$


両辺2乗して、


$(x-r)^2+y^2=4a^2\pm 4a\sqrt{(x+r)^2+y^2}+(x+r)^2+y^2$


ルートの中身以外を展開して、整理して、


$-4xr-4a^2=\pm 4a\sqrt{(x+r)^2+y^2}$


両辺を4で割って、


$-xr-a^2=\pm a\sqrt{(x+r)^2+y^2}$


両辺2乗して、


$x^2r^2+2xra^2+a^4=a^2{(x+r)^2+y^2}$

$x^2r^2+2xra^2+a^4=x^2a^2+2xra^2+r^2a^2+y^2a^2$


整理して、


$x^2(r^2-a^2)-y^2a^2=a^2(r^2-a^2)$


ここで、$a^2(r^2-a^2)$で両辺を割ってあげると、


$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{r^2-a^2}=1$


最後に$b^2=r^2-a^2$として、


$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$






($\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$)

上のはグラフの形的に左右でしたが、今度のグラフは上下になります。


$\left|\sqrt{(y-r)^2+x^2}-\sqrt{(y-r)^2+x^2}\right|=2a$


$x$と$y$が入れ替わっただけなので、同じように解いていけば、


$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$


となって、


$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=-1$


となります。

また最初の段階で、$a$のところを$b$として、$a^2=r^2-b^2$のように$a$と$b$を逆にしておけば、


$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$


   

漸近線の導出方法

漸近線の式がなぜ

$$y=\pm \frac{b}{a}x$$

こうなるのか説明します。


今回は「双曲線の漸化式は、原点を通る」ことは証明せずに使用することにします。

よって、方程式の形としては、


$$y=cx$$


となると仮定でき、結論としては、$\large{c=\pm \frac{b}{a}}$となればいいわけです。


そこで、これを使用します。

曲線$y=f(x)$のグラフにおいて、漸近線の式が$y=cx$なら、

$$c=\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}\frac{f(x)}{x}$$
で求めることができます。

解説

曲線f(x)を無限に伸ばしていけば、ほぼ直線になると考えます。

そのため、無限に伸ばした後のf(x)は


$$f(x)=cx$$


と考えることができますね。よって、傾きcを求めると、


$$c=\frac{f(x)}{x}$$


となります。あくまで、これはxを無限に飛ばした場合なので、$\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}$を付け足して、


$$c=\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}\frac{f(x)}{x}$$


双曲線で実際に使ってみます。

まず、$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を、”$y=$”の形に直します。


$$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$$


よって、$c=\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}\frac{f(x)}{x}$は、


$$c=\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}\frac{\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}}{x}$$


ここで、$\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}x^2-a^2=x^2$なので、(xを無限に大きくしていけば、aは考えなくていいほど小さな値になる)


$$\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{x^2}=x$$


よって、最初の式は


$$\begin{align}
c&=\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}\frac{\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}}{x}
\\\\&=\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}\frac{\pm \frac{b}{a}x}{x}
\\\\&=\displaystyle\lim_{x→\pm \infty}\pm \frac{b}{a}
\\\\&=\pm \frac{b}{a}
\end{align}$$


$c=\pm \frac{b}{a}$と分かったので、双曲線の漸近線の方程式の標準形が、$y=\pm \frac{b}{a}x$と分かりました。

この方法は、双曲線以外の漸近線を求めるときにも使用できます。また、上の解説では、実際には不十分な点もあります。

他のページでもっと詳しい漸近線の求め方を紹介しています。ぜひ見て見てください。

【漸近線】曲線の漸近線の一般的な求め方(導出方法あり)5分で分かる
(1)微分による曲線の概形の求め方(2)$\displaystyle\lim_{}$の基礎知識曲線$y=f(x)$の漸近線が直線$y=ax+b$であるとき、傾き:$\large{a=\displaystyle\lim_{...

まとめ

双曲線方程式の標準形

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$
どちらの場合でも、双曲線の漸近線の式は、

$$y=\pm \frac{b}{a}x$$

最後まで読んでいただきありがとうございました。

漸近線に詳しくなりたい人はこれもご覧ください。

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