フーリエ変換とは?例題1つで簡単に理解する(入門)

数学

フーリエ変換について

フーリエ級数展開(フーリエ変換)とは、繰り返しで周期的に同じことが起こる関数において、$sin$関数と$cos$関数の合成を用いて必ず表すことができるというものです。

$$f(t)=\left\{\begin{align}-1\quad&(-π\leqq t<0)\\1\quad&(0\leqq t< π)\end{align}\right.$$

ただし、

$$f(t)=f(t+2π)$$

$2π\,$は周期のことを表してます。

フーリエ変換の公式は、(周期が$\,2π\,$の場合)
$$f(t)=\frac{1}{2}a_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_{n}cos\,nt+b_{n}sin\,nt)$$
$$\begin{align} a_{0}&=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{π}f(t)dt\\ a_{n}&=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{π}f(t)cos\,nt\cdot dt\\ b_{n}&=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{π}f(t)sin\,nt\cdot dt \end{align}$$
ただし、$n=0,1,2,3,4\cdots$

$f(t)\,$を三角関数で表すために$\,a_{0}\,,\,a_{n}\,,\,b_{n}\,$をそれぞれ求めます。上のそれぞれの式に$\,f(t)\,$を代入して求めると、

$$\begin{align}
a_{0}&=0\\
a_{n}&=0\\
b_{n}&=\frac{2}{nπ}(1-cos\,nπ)
\end{align}$$

となります。(計算はここでは省いています。)$b_{n}\,$について、考えると、$cos\,nπ=(-1)^n\,$より、

$$b_{n}=\left\{\array{\frac{4}{nπ}\quad&(n:偶数)\\0\quad&(n:奇数)}\right.$$

よって、

$$\begin{align}
f(t)&=\frac{1}{2}a_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}(a_{n}cos\,nt+b_{n}sin\,nt)\\
&=\frac{4}{π}\left\{sin(t)+\frac{1}{3}sin(3t)+\frac{1}{5}sin(5t)+\cdots\right\}
\end{align}$$

$f(t)=\frac{4}{π}sin(t)$


$f(t)=\frac{4}{π}\left\{sin(t)+\frac{1}{3}sin(3t)\right\}$


$f(t)=\frac{4}{π}\left\{sin(t)+\frac{1}{3}sin(3t)+\cdots+\frac{1}{9}sin(9t)\right\}$


$f(t)=\frac{4}{π}\left\{sin(t)+\frac{1}{3}sin(3t)+\cdots+\frac{1}{199}sin(199t)\right\}\quad(1\leqq n\leqq 200)$

$$f(t)=\left\{\begin{align}-1\quad&(-π\leqq t<0)\\1\quad&(0\leqq t< π)\end{align}\right.$$

このの式を$\,sin\,,\,cos\,$で表すことができ、緑枠の一番下の$\,n=200\,$まで足し合わせたグラフなんかは、とても似ていたと思います。

このようなことは繰り返しが周期的になっている関数であれば必ずできます。

途中でしていなかった計算のところを説明しておきます。

$$\begin{align}a_{0}&=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{π}f(t)dt\\ &=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{0}^{π}1\cdot dt+\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{0}-1\cdot dt\\ &=\frac{1}{π}\left[t\right]_{0}^{π}+\frac{1}{π}\left[-t\right]_{-π}^{0}\\ &=0\end{align}$$
$$\begin{align}a_{n}&=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{π}f(t)cos\,nt\cdot dt\\ &=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{0}^{π}1\cdot cos\,nt\cdot dt+\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{0}-1\cdot cos\,nt\cdot dt\\ &=\frac{1}{π}\left[\frac{1}{n}sin\,nt\right]_{0}^{π}+\frac{1}{π}\left[-\frac{1}{n}sin\,nt\right]_{-π}^{0}\\ &=0\end{align}$$
$$\begin{align}b_{n}&=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{π}f(t)sin\,nt\cdot dt\\ &=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{0}^{π}1\cdot sin\,nt\cdot dt+\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{0}-1\cdot sin\,nt\cdot dt\\ &=\frac{1}{π}\left[-\frac{1}{n}cos\,nt\right]_{0}^{π}+\frac{1}{π}\left[\frac{1}{n}cos\,nt\right]_{-π}^{0}\\ &=\frac{2}{nπ}(1-cos\,nπ)\end{align}$$

まとめ

フーリエ変換とは、周期的な関数はすべて三角関数の合成で表せるというものです。まずは簡単にこのことさえ分かっていればいいと思います。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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