極大値、極小値の求め方と判断の難しいグラフの極値

数学
説明だけなら特になし

練習問題の2問目で、
・判別式
・平方完成

極大値と極小値について

真っ先に言っておくこととして、

極大値・極小値と最大・最小は別物です。

極大値や極小値とは、
簡単に言うとグラフにおいて、山や谷になっている部分のことです。

図の中では極大値は2つに極小値は1つです。

値が小さくても、山になっていれば極大値になりますし、凹みがっちょっとであっても極小値になります。また、この図だけを見ると右側の極大値はこの関数の最大値になります。

極大値、極小値を数学的に表す

関数$f(x)$において、$\left|x-a\right|→0\,$($x=a\,$に極端に近い範囲)で、

・$f(x)<f(a)\,$が成り立つときは$\,f(a)\,$が極大値
・$f(x)>f(a)\,$が成り立つときは$\,f(a)\,$が極小値

近くの範囲で一番最大(最小)になっていれば、その点が極大値(極小値)となるという意味です。

最大値、最小値との違い

数学的に表せば違いがあります。

最大値、最小値を数学的に表す

定義域内全てにおいて

・$f(x)<f(a)\,$が成り立つときは$\,f(a)\,$が最大値
・$f(x)>f(a)\,$が成り立つときは$\,f(a)\,$が最小値

よって、極大値(極小値)と最大値(最小値)の違いは、「$x=a\,$に極端に近い範囲」であることと「定義域内全てにおいて」であることです。

極大値(極小値)が最大値(最小値)ではないグラフ

極大値(極小値)が最大値(最小値)になるグラフ

極値の判定方法

$f(x)\,$が$\,x=a\,$で微分可能なとき、
  1. $\,f'(a)=0\,$となる
  2. $\,x=a\,$の前後で、$f'(a)\,$の符号が変わる
この2つの条件を満たす場合に、$f(a)\,$が極大値や極小値となります。(1はなくても極値になることもある。)

ちなみに、前後で符号が変わるのを確認するために増減表を書く場合が多いです。増減表については、例題で実際に使用しているので確認してみてください。

あとは、$\,x=a\,$の前後での、$f'(a)\,$の符号の変わり方で$\,f(a)\,$が極大値になってるか極小値になるかはわかっています。
・正(+)から負(−)に変わるとき、極大値
・負(−)から正(+)に変わるとき、極小値

極値の判定が曖昧になりがちなもの

極値ではない

$f'(0)=0\,$にはなるが、$\,f'(0)\,$の前後で符号が変わらないから極値ではない

極値になる

$f'(-1)\,$は微分はできないが、$x=-1\,$で連続で、$x=-1\$の前後で$\,y\,$の値が減少から増加に変わっているので極値になる

例題

次の関数の極値を求めよ。
$$y=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x$$

$f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x\,$とすると、(実際には$\,f(x)\,$に置き換える必要はありませんが、上の説明に従っていきます。)

$$\begin{align}
f'(x)&=x^3-x^2-x^1+1\\
&=(x-1)^2(x+1)
\end{align}$$

よって、$f(x)’=0\,$となるときの$\,x\,$の値は、

$$x=-1\,,\quad 1$$

よって、$f(x)\,$の増減表は、

$\begin{array}
{|c|ccccc|}
\hline x&\cdots&-1&\cdots&1&\cdots\\
\hline f'(x)&-&0&+&0&+ \\
\hline f(x)&\searrow&-\frac{11}{12}&\nearrow&\frac{5}{12}&\nearrow \\
\hline
\end{array}$

増減表の書き方

左側にはその段が何の情報なのかを分かるように$\,x\,,\,f'(x)\,,\,f(x)\,$を置きます。
・$\,x\,$の段には、$\,f'(x)=0\,$になるときの$\,x\,$の値を書きます。それ以外の部分は$\,\cdots\,$で補います。
・$\,f'(x)\,$の段には、$\,f'(x)\,$の値が上の段の$\,x\,$によって、$+\,,\,-\,,\,0\,$のいずれかを書きます。
・$\,f(x)\,$の段には、$\,f'(x)\,$の段によって、$+\cdots\nearrow\,$、$-\cdots\searrow\,$を書き、$0\,$のときは$\,x\,$が決まっているので、代入して$\,f(x)\,$の値を書きます。

よって、$\,f'(a)=0\,$となり、$\,x=a\,$の前後で、$f'(a)\,$の符号が変わるものについて確認します。

$f'(x)=0\,$となるときの$\,x\,$の値は、$x=-1\,,\quad 1\,$ですが、

$f'(1)\,$の前後はどちらも$\,+\,$になっていて、符号が変わっていないので、極値にはなりません。

ただ、$f'(-1)\,$の前後は、$-\,$から$\,+\,$に符号が変わっているので極小値です。

よって、極値は$\,f(-1)\,$なので、

極小値$\quad -\frac{11}{12}\quad (x=-1)$

練習問題

次の関数の極値を求めよ。
$$y=2cos\,x\,+x\quad (0\leqq x\leqq 2π)$$
$$y’=-2sin\,x\,+1$$ よって、$y’=0\,$となるのは、
$$\begin{align} sin\,x&=\frac{1}{2}\\ x&=\frac{1}{6}π\,,\,\frac{5}{6}π \end{align}$$ $y\,$の増減表は次のようになる。
$\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x&0&\cdots&\frac{1}{6}π&\cdots&\frac{5}{6}π&\cdots&2π\\ \hline f'(x)& &+&0&-&0&+ \\ \hline f(x)&0&\nearrow&\sqrt{3}+\frac{1}{6}π&\searrow&-\sqrt{3}+\frac{5}{6}π&\nearrow&1+2π \\ \hline \end{array}$
定義域($x\,$の範囲)が決まっている場合、両端のとこでは微分可能ではありません。よって、$f'(x)\,$の両端は何も書きません。もしくは、スラッシュを入れたりします。

極大値$\quad \sqrt{3}+\frac{1}{6}π\quad \left(x=\frac{1}{6}π\right)$

極小値$\quad -\sqrt{3}+\frac{5}{6}π\quad \left(x=\frac{5}{6}π\right)$

   
次の関数が極値を持つような定数$\,a\,$の範囲を求めよ。
$$f(x)=\frac{x+a}{x^2-9}$$
$$\begin{align} f'(x)&=\frac{1\cdot (x^2-9)-(x+a)\cdot 2x}{(x^2-9)^2}\\ &=-\frac{x^2+2ax+9}{(x^2-9)^2} \end{align}$$ よって、$f'(x)=0\,$となるのは、
$$x^2+2ax+9=0$$ 解をもつためには、判別式を使って、
$$\begin{align} &\frac{D}{4}=a^2-9\geqq 0\\ &(a-3)(a+3)\geqq 0 \end{align}$$ よって、解をもつとき、$a\leqq -3\,,\quad 3\leqq a\,$となる。
次に、重解について考える。重解であると、その前後は符号が変わらなくなるので、条件を満たす解でなくなる。
$x^2+2ax+9=0\,$より、平方完成を使うことで、 $$(x+a)^2-a^2+9=0$$ となり、よって、$-a^2+9=0\,$となると重解になるので、
$$a=\pm 3$$ のときは、重解になり条件が満たされない。よって、
$$a< -3\,,\quad 3< a$$
   

まとめ

  1. $\,f'(a)=0\,$となる
  2. $\,x=a\,$の前後で、$f'(a)\,$の符号が変わる
を使うことで、極値を求めます。また、極値は最大値や最小値とは別ものになります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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