指数・対数の微分と公式と証明と解き方・eの定義

数学
$(x^n)’=nx\,{n-1}$

対数関数・指数関数の微分(公式)解き方

公式一覧

$\begin{align} &\cdot\quad \textcolor{red}{(e^x)’=e^x}\\\\ &\cdot\quad (a^x)’=a^xlog\,a\\\\ &\cdot\quad \textcolor{red}{(log\,x)’=\frac{1}{x}}\\\\ &\cdot\quad (log\,|x|)’=\frac{1}{x}\\\\ &\cdot\quad (log_{a}x)’=\frac{1}{x\,log\,a}\\\\ &\cdot\quad (log|f(x)|)’=\frac{f'(x)}{f(x)} \end{align}$

以上が対数関数と指数関数の微分の公式です。特に重要なのは、赤色の2つです。それ以外の公式は、その2つを用いて求めることができます。

$log\,x\,$とは、$log_{e}x\,$と同じ意味です。これを微分することで$\frac{1}{x}\,$という答えになります。

また、$e^x\,$を微分しても、何も変わらず$\,e^x\,$のままになります。

$(log|f(x)|)’=\frac{f'(x)}{f(x)}\,$は、微分の問題より積分の問題で使うことが多いです。

$e\,$の定義

$$\textcolor{red}{e=\displaystyle\lim_{h→0}\,(1+h)^{\frac{1}{h}}}$$ 上の$\,e\,$の定義式から導く、以下2つの式も$\,e\,$の定義とされます。
$$\begin{align} &e=\displaystyle\lim_{n→∞}\,\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\ &\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{e^h-1}{h}=1 \end{align}$$

$e\,$の定義$\,e=\displaystyle\lim_{h→0}\,(1+h)^{\frac{1}{h}}\,$は、定義である以上なぜ?とかは考えてはいけません。定義とは定理とは違いそういうものです。

その上で、下側の2つの式は定義から考えることができます。

$e=\displaystyle\lim_{n→∞}\,\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\,$を導く

$e\,$の定義式において、$h=\frac{1}{n}\,$とします。

すると、$h→0\,$より、$n→∞\,$となります。

よって、$n\,$を代入することで、

$$\begin{align}
e&=\displaystyle\lim_{h→0}\,(1+h)^{\frac{1}{h}}\\
&=\displaystyle\lim_{n→∞}\,\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
\end{align}$$

導けました。

$\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{e^h-1}{h}=1\,$を導く

$e\,$の定義式から変形して求めます。

当然のことですが、$\displaystyle\lim_{h→0}\,e=e\,$になります。よって、定義式を以下のようにまず変形します。

$$
e=\displaystyle\lim_{h→0}\,(1+h)^{\frac{1}{h}}\\
↓\\
\displaystyle\lim_{h→0}\,\left(e=(1+h)^{\frac{1}{h}}\right)
$$

次に、$e=(1+h)^{\frac{1}{h}}\,$を考えると、

$$\begin{align}
e&=(1+h)^{\frac{1}{h}}\\
e^h&=1+h\\
e^h-1&=h\\
\frac{e^h-1}{h}&=1
\end{align}$$

よって、

$$\displaystyle\lim_{h→0}\,\left(\frac{e^h-1}{h}=1\right)$$

ここで当然、$\displaystyle\lim_{h→0}\,1=1\,$になるので、

$$\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{e^h-1}{h}=1$$

導けました。

$$\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{e^h-1}{h}=1$$ $f(x)=a^x\,$の$\,x=0\,$における微分が1となるときの$\,a\,$の値を$\,e\,$とします。(後で$\,e^x\,$の微分を求めるときに使用します。)

例題

次の関数を微分せよ。
$$y=log\,(log_{2}{x})$$

合成関数であり、$(log\,x)’=\frac{1}{x}\,$と$\,(log_{a}x)’=\frac{1}{x\,log\,a}\,$と用いて解くことができます。

$$\begin{align}
y’&=\left\{log\,(log_{2}{x})\right\}’\\
&=\frac{1}{log_{2}{x}}\cdot (log_{2}{x})’\\
&=\frac{1}{log_{2}{x}}\cdot \frac{1}{x\,log\,2}\\
&=\frac{1}{x\,log\,2\,log_{2}{x}}
\end{align}$$

$$y’=\frac{1}{x\,log\,2\,log_{2}{x}}$$

例題2

次の関数を微分せよ。
$$y=e^{6x}$$

合成関数であり、$(e^x)’=e^x\,$を用いて解くことができます。

$$\begin{align}
y’&=\left(e^{6x}\right)’\\
&=e^{6x}\cdot \left(6x\right)’\\
&=6e^{6x}
\end{align}$$

$$y’=6e^{6x}$$

証明

$(e^x)’=e^x$

$f(x)=e^x\,$とすると、微分を求める定義を使用して、

$$\begin{align}
(e^x)’&=f'(x)\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{e^x\cdot e^h-e^x}{h}\\
&=e^x \displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{e^h-1}{h}\\
&=e^x\cdot 1\\\\
&=e^x
\end{align}$$

$e\,$の定義$\,\displaystyle\lim_{h→0}\,\frac{e^h-1}{h}=1\,$を使用しています。

$(a^x)’=a^xlog\,a$

$a^x=e^{x\,log\,a}\,$となります。

$a^x=A\,$として対数を取ると、
$\begin{align}&log\,a^x=log\,A\\ &x\,log\,a=log\,A\end{align}$
よって、
$A=e^{x\,log\,a}$

よって、

$$\begin{align}
(a^x)’&=(e^{x\,log\,a})’\\
&=e^{x\,log\,a}\cdot (x\,log\,a)’\\
&=e^{x\,log\,a}\cdot log\,a\\
&=a^xlog\,a
\end{align}$$

$(log\,x)’=\frac{1}{x}$

$e^{log\,x}=x\,$となります。

$y=log\,x$とすると、
$log\,e^y=x$
よって、
$e^{log\,x}=x$

よって、

$$\begin{align}
(e^{log\,x})’&=(x)’\\
e^{log\,x}\cdot (log\,x)’&=1\\
(log\,x)’&=\frac{1}{e^{log\,x}}\\
(log\,x)’&=\frac{1}{x}
\end{align}$$

少しだけ違う方法での証明です。

$$\begin{align}
y&=log\,x\\
e^y&=x\\
\frac{d}{dx}(e^y)&=\frac{d}{dx}(x)\\
\frac{dy}{dx}\cdot\frac{d}{dy}(e^y)&=\frac{d}{dx}(x)\\
e^y\cdot\frac{dy}{dx}&=1\\
\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{e^y}\\
\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{x}
\end{align}$$

$(log\,|x|)’=\frac{1}{x}$

$x>0\,$のとき、

$$\begin{align}
(log\,|x|)’&=(log\,x)’\\
&=\frac{1}{x}
\end{align}$$

$x<0\,$のとき、

$$\begin{align}
(log\,|x|)’&=\left\{log\,(-1)\right\}’\\
&=\frac{1}{-x}\cdot (-x)’\\
&=-\frac{1}{x}\cdot (-1)\\
&=\frac{1}{x}
\end{align}$$

よって、

$$(log\,|x|)’=\frac{1}{x}$$

$(log_{a}x)’=\frac{1}{x\,log\,a}$

$$\begin{align}
(log_{a}x)’&=\left(\frac{log\,x}{log\,a}\right)’\\
&=\frac{1}{log\,a}\cdot (log\,x)’\\
&=\frac{1}{x\,log\,a}
\end{align}$$

底の変換公式を用いて、$log_{a}x\,$を底$\,e\,$の自然対数に分ける方法を使用しています。

$(log|f(x)|)’=\frac{f'(x)}{f(x)}$

合成関数として考えると簡単です。($y=log\,|f(x)|$)

$$\begin{align}
(log\,|y|)’&=\frac{1}{y}\cdot y’\\
&=\frac{f'(x)}{f(x)}
\end{align}$$

練習問題

次の関数を微分せよ。
$$y=e^{sin\,x}$$
$$\begin{align} y’&=(e^{sin\,x})’\\ &=e^{sin\,x}\cdot (sin\,x)’\\ &=cos\,x\,e^{sin\,x} \end{align}$$
$$y’=cos\,x\,e^{sin\,x}$$
   
次の関数を微分せよ。
$$y=log_{6}|x^2+1|$$
$$\begin{align} y’&=(log_{6}|x^2+1|)’\\ &=\frac{1}{x\,log\,6}\cdot (x^2+1)’\\ &=\frac{2x}{x\,log\,6} \end{align}$$
$$y’=\frac{2x}{x\,log\,6}$$
   

まとめ

公式一覧

$ \cdot\quad \textcolor{red}{(e^x)’=e^x}\\ \cdot\quad (a^x)’=a^xlog\,a\\ \cdot\quad \textcolor{red}{(log\,x)’=\frac{1}{x}}\\ \cdot\quad (log\,|x|)’=\frac{1}{x}\\ \cdot\quad (log_{a}x)’=\frac{1}{x\,log\,a}\\ \cdot\quad (log|f(x)|)’=\frac{f'(x)}{f(x)} $
以上の公式6つを覚えておくといいと思います。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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