y”+y=0を2通りで解いてみた

数学

解法(大学範囲)

$y=e^{λx}\,$と仮定します。よって、$y^{\prime\prime}=λ^2e^{λx}\,$となります。

$$y^{\prime\prime}+y=0$$

問題になっている式に代入すると、

$$\begin{align}
λ^2e^{λx}+e^{λx}&=0\\
e^{λx}(λ^2+1)&=0
\end{align}$$

$e^{λx}\neq 0\,$なので、

$$\begin{align}
λ^2+1&=0\\
λ^2&=-1\\
λ&=i\,,\,-i
\end{align}$$

よって、$y_{1}=e^{ix}\,,\,y_{2}=e^{-ix}\,$の2つが問題の解になるが、虚数が含まれてしまっているので、虚数が含まれない形での解をこの2つの解から求める。

$e^{ix}=cos\,x+i\,sin\,x\,,\,e^{-ix}=cos\,x-i\,sin\,x\,$より、(マクローリン展開から求めることができます。)

$$y_{3}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=cos\,x$$

$$y_{4}=\frac{y_{1}-y_{2}}{2i}=sin\,x$$

よって、$y_{3}\,,\,y_{4}\,$の解を2つ求めることができました。

任意定数(積分定数ともいうかも)$C_{1}\,,\,C_{2}\,$を用いて、

一般解:$y=C_{1}cos\,x+C_{2}sin\,x$

二階線形微分方程式の一般解の求め方を詳しく知りたい方はこちら

二階線形微分方程式の解き方|疑問の解決
二階線形微分方程式で苦しむ理由に、なぜそうなるのか分からないといったことが多いので理解しづらいという人が多いと思います。なので、その辺も含め自分が疑問に感じたことを全て説明して、完全に二階線形微分方程式の説明をしようと思い...

解法(高校生範囲)

$y^{\prime\prime}+y=0\,$に$\,y’\,$をかける。

$$y’\frac{dy’}{dx}+y\frac{dy}{dx}=0$$

$\frac{dy^2}{dx}=2y\cdot \frac{dy}{dx}\\
\frac{d(y’)^2}{dx}=2y’\cdot \frac{dy’}{dx}\,$より、

$$\begin{align}
\frac{1}{2}\left(\frac{d(y’)^2}{dx}+\frac{dy^2}{dx}\right)&=0\\
\frac{d(y’)^2}{dx}+\frac{dy^2}{dx}&=0
\end{align}$$

両辺をxで積分する。

$$\begin{align}
(y’)^2+y^2&=c_{1}\\
y’&=\pm\sqrt{c_{1}-y^2}\\
\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{c_{1}-y^2}}dy&=\displaystyle \int_{}^{}\pm1\cdot dx
\end{align}$$

左辺は積分を勉強したことある人なら何度かは見たことあるよくある置換積分
$$\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$$ と同じになっています。

$y=\sqrt{c_{1}}sin\,θ\,$で置換します。

$dy=\sqrt{c_{1}}cos\,θ$

よって、

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{}^{}dθ&=\displaystyle \int_{}^{}\pm1\cdot dx\\
θ&=\pm x+c_{2}
\end{align}$$

$y=\sqrt{c_{1}}sin\,θ\,$に代入する。

$$\begin{align}
y&=\sqrt{c_{1}}sin(\pm x+c_{2})\\
&=\pm\sqrt{c_{1}}sin(x\pm c_{2})
\end{align}$$

ここで、積分定数について、$C_{1}=\pm\sqrt{c_{1}}\,,\,C_{2}=\pm c_{2}\,$にすることで、一般解は、

$$y=C_{1}sin(x+C_{2})$$
もしくは、$a\,sin\,x+b\,cos\,x=c\,sin(x+d)\,$から、
$$y=C’_{1}sin\,x+C’_{2}cos\,x$$

まとめ

この問題の解き方を覚えるよりかは、二階線形微分方程式の解き方を完璧にした方がいいです。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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