eに関する極限の解き方（問題付き）｜x/e^x,x^n/e^xの証明

極限とeにおける問題は基本難しい

改めて言うことではありませんが、$\,e\,$が関係する極限の問題は、難しいです。

難しくなる理由としては、ものすごく覚えにくい公式が2つあるのに、それらをふんだんに使用して解かなくてはいけない点です。

どんな問題になるかを示しておきます。

極限値の解き方

まず、先ほど言った使用する公式2つです。

上の公式は、$\,e\,$の定義となる式です。そのため、証明などは存在しません。

そして、下の式は証明が難しいし、実際数式だけ見ていても実感がわきにくいです。

「定義」と「実感がわかない式」を覚えるのは苦行ですが、逆を言えば、この2つの式さえ覚えれば、あとは問題の式を工夫をして解くことが可能になります。

例題

$\displaystyle\lim_{x→0}\,(1-3x)^{\frac{1}{x}}\,$この問題の式にそのまま公式を当てはめることはできないので、式変形が重要になってきます。

$t=-3x\,$とすると、$x→0\,$のとき、$t→0\,$より、

$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{x→0}\,(1-3x)^{\frac{1}{x}}&=\displaystyle\lim_{t→0}\,(1+t)^{-\frac{3}{t}}\\
&=\displaystyle\lim_{t→0}\,\left\{(1+t)^{\frac{1}{t}}\right\}^{-3}\\
&=e^{-3}
\end{align}$$

例題2

$\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{x}{log\,x}\,$この問題の式にそのまま公式を当てはめることはできないので、式変形が重要になってきます。

$t=log\,x\,$とすると、$x=e^t\,$となる。
$x→∞\,$のとき、$t→∞\,$より、

$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{x}{log\,x}&=\displaystyle\lim_{t→∞}\,\frac{e^t}{t}\\
&=\displaystyle\lim_{t→∞}\,\frac{1}{\left(\frac{t}{e^t}\right)}\\
&=∞
\end{align}$$

証明$\quad\left[\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{x^n}{e^x}=0\right]$

主に使うのは、はさみうちの原理と数学的帰納法です。

はじめに

まずは、$e^x>\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\,$の証明

$f(x)=e^x-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\,$とおいたとき、$f(x)>0\,$となれば、証明できたことになります。

証明するのに数学的帰納法を使用します。

[1]：$n=1\,$のときを考える

$\quad f(x)=e^x-(1+x)$

となります。このとき、これを微分して、

$\quad f'(x)=e^x-1$

$x>0\,$のとき、$e^x>1\,$となるので、$f'(x)>0\,$となります。よって、$f(x)\,$は単調増加になります。また、

$\quad f(0)=e^0-(1+0)=0$

なので、$f'(x)>0\,$と$f(x)=0\,$より、$f(x)>0\,$となります。つまり、

$\textcolor{red}{\quad e^x-(1+x)>0}$

が成り立ちます。

[2]：$n=k\,$のときに、成り立つと仮定して、$n=k+1\,$のときを考える

$n=k\,$のとき、

$\quad e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^k}{k!}\right)>0$

が成り立つと仮定します。次に、$n=k+1\,$について考えます。

$\quad f(x)=e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^k}{k!}+\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\right)$

とすると、微分したら、

$\quad f'(x)=e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^k}{k!}\right)>0$

となるので、$f(x)\,$は単調増加になります。また、

$\quad f(0)=e^0-\left(1+0+\frac{0^2}{2}+\cdots +\frac{0^k}{k!}\right)=0$

なので、

$f'(x)>0\,$と$\,f(x)=0\,$より、$f(x)>0\,$となります。つまり、

$\textcolor{red}{\quad e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^k}{k!}+\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\right)>0}$

が成り立ちます。

[1]、[2]から数学的帰納法より、すべての自然数$\,n\,$について、

$\quad e^x-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}>0$

が成り立つことが確認できたので、つまり、

$\quad\textcolor{red}{e^x>\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}}$

が成り立つことが証明できました。

最終的に

$e^x>\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\,$を証明することができたので、これを利用して、$\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{x^n}{e^x}=0$を証明します。

すべての自然数$\,n\,$において、はじめに証明した式が成り立つので、もちろん、

$\quad e^x>\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!}$

も成り立ちます。よって、

$\quad e^x>\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!}>\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

となるので、

$\quad e^x>\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

が成り立ちます。よって、

$\begin{align}
\quad\frac{e^x}{x^n}&>\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{x^n}\\\\
\quad\frac{x^n}{e^x}&<\frac{(n+1)!}{x}
\end{align}$

また、$0<x^n\,,\quad 0<e^x\,$より、

$\quad 0<\frac{x^n}{e^x}<\frac{(n+1)!}{x}$

右辺の極限は、$(n+1)!=$定数$\,\,$なので、

$\quad\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{(n+1)!}{x}=0$

となるので、はさみうちの原理より、

$\quad\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{x→∞}\,\frac{x^n}{e^x}=0}$

となります。

練習問題

まとめ

最後まで読んでいただきありがとうございました。