【微分】三角関数 微分の公式と証明(導出)を分かりやすく解説|高校範囲

数学

微分の問題を解くときによく使う三角関数の微分を導関数を用いて証明を行う。多くの人は暗記している範囲になるが一回ぐらい見ておくといいかもしれない範囲。

導関数の定義 $f'(x)=\displaystyle\lim_{x→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f(x)=sinx$の微分の求め方

定義に従って、$f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$より


$$\begin{align}
f'(x)&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \frac{2cos\frac{2x+h}{2}sin\frac{h}{2}}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} 2cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} 2cos\left(x+0\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\\\\
&=\textcolor{blue}{cosx}
\end{align}$$


$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\displaystyle\lim_{h→0} \frac{2cos\frac{2x+h}{2}sin\frac{h}{2}}{h}$の部分について、

和・積の公式を使用しています。

$$sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\\ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ$$

より、

$$sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ$$

となるので、$α=\frac{2x+h}{2}$と$β=\frac{h}{2}$とすれば、式変形ができる。

どうして、$α=\frac{2x+h}{2}$と$β=\frac{h}{2}$と置くことを思いついたのか知りたい方はこちら。

【三角関数】和積と積和の公式、導出方法と覚え方(練習問題あり)
三角関数においてめったに使うことはないが、いざ使うときになるとなかなかに厄介な和積関和の公式を導出する。三角関数の加法定理$sin(α±β)=sin\,α\,cos\,β±cos\,α\,sin\,β\\cos(...
$\displaystyle\lim_{h→0} 2cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=\textcolor{blue}{cosx}$の部分について、

$\displaystyle\lim_{}$の公式にある

$$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1$$

より、$x=\frac{h}{2}$とすれば、式変形できる。

どうして、$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1$となるのかについて知りたい方はこちら。

【極限】limsinx/x 1の証明|図でもって3分で解説する
$\displaystyle\lim_{x→0}\,cos\,x=1$$$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}=1$$図形を使って証明するまずは、分子を見る...

別解

$$\begin{align}
f'(x)&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \frac{sinxcosh+cosxsinh-sinx}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\left\{\frac{sinx(cosh-1)}{h}+\frac{cosxsinh}{h}\right\}\\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \left\{\frac{sinx(cos^2h-1)}{h(cosh+1)}+\frac{cosxsinh}{h}\right\}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \left\{\frac{sinx(-sin^2h)}{h(cosh+1)}+\frac{cosxsinh}{h}\right\}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \left(sinx\cdot \frac{sinh}{h}\cdot\frac{-sinh}{cosh+1}+cosx\cdot\frac{sinh}{h}\right)\\\\
&=sinx\cdot 1\cdot 0+cosx\cdot 1\\\\
&=cosx
\end{align}$$


$f(x)=-sinx$の微分の求め方

定義に従って、$f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$より


$$\begin{align}
f'(x)&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{-sin(x+h)-(-sinx)}{h}\\\\
&=-\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{h→0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}}
\end{align}$$


$f(x)=sinx$の導関数と赤い部分は全く同じなので、


$$=-cosx$$


$f(x)=cosx$の微分の求め方

定義に従って、$f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$より


$$\begin{align}
f'(x)&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{cos(x+h)-cosx}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \frac{-2sin\frac{2x+h}{2}sin\frac{h}{2}}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} -2sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} -2sin\left(x+0\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\\\\
&=\textcolor{blue}{-sinx}
\end{align}$$


$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}=\displaystyle\lim_{h→0} \frac{-2sin\frac{2x+h}{2}sin\frac{h}{2}}{h}$の部分について、

和・積の公式を使用しています。

$$cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\\ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ$$

より、

$$cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ$$

となるので、$α=\frac{2x+h}{2}$と$β=\frac{h}{2}$とすれば、式変形ができる。

どうして、$α=\frac{2x+h}{2}$と$β=\frac{h}{2}$と置くことを思いついたのか知りたい方はこちら。

【三角関数】和積と積和の公式、導出方法と覚え方(練習問題あり)
三角関数においてめったに使うことはないが、いざ使うときになるとなかなかに厄介な和積関和の公式を導出する。三角関数の加法定理$sin(α±β)=sin\,α\,cos\,β±cos\,α\,sin\,β\\cos(...
$\displaystyle\lim_{h→0} -2sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=\textcolor{blue}{-sinx}$の部分について、

$\displaystyle\lim_{}$の公式にある

$$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1$$

より、$x=\frac{h}{2}$とすれば、式変形できる。

どうして、$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1$となるのかについて知りたい方はこちら。

【極限】limsinx/x 1の証明|図でもって3分で解説する
$\displaystyle\lim_{x→0}\,cos\,x=1$$$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{sin\,x}{x}=1$$図形を使って証明するまずは、分子を見る...

別解

$$\begin{align}
f'(x)&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \frac{cosxcosh-sinxsinh-cosx}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\left\{\frac{cosx(cosh-1)}{h}-\frac{sinxsinh}{h}\right\}\\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \left\{\frac{cosx(cos^2h-1)}{h(cosh+1)}-\frac{sinxsinh}{h}\right\}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \left\{\frac{cosx(-sin^2h)}{h(cosh+1)}-\frac{sinxsinh}{h}\right\}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0} \left(cosx\cdot \frac{sinh}{h}\cdot\frac{-sinh}{cosh+1}-sinx\cdot\frac{sinh}{h}\right)\\\\
&=cosx\cdot 1\cdot 0-sinx\cdot 1\\\\
&=-sinx
\end{align}$$


$f(x)=-cosx$の微分の求め方

定義に従って、$f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$より


$$\begin{align}
f'(x)&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{-cos(x+h)-(-cosx)}{h}\\\\
&=-\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{h→0}\frac{cos(x+h)-cosx}{h}}
\end{align}$$


$f(x)=cosx$の導関数と赤い部分は全く同じなので、


$$=-sinx$$


練習問題

$f(x)=-3cosx$を微分せよ。
$f(x)=cosx$を微分したら、$f'(x)=-sinx$となるので、

$$f'(x)=-3(-sinx)=3sinx$$

$f'(x)=3sinx$
   
$f(x)=\frac{1}{3}sinx$を微分せよ。
$f(x)=sinx$を微分したら、$f'(x)=cosx$となるので、

$$f'(x)=\frac{1}{3}(cosx)=\frac{1}{3}cosx$$

$f'(x)=\frac{1}{3}cosx$
   

まとめ

導出の基本は、

$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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