【微分可能】時間をかけずに理解したい人におすすめ!

微分可能のサムネ数学
この記事のまとめ

微分ができない時に微分してしまってませんか?

この記事では、微分可能なときはいつなのか?を図を使いながら簡単に説明します。

また、微分可能と連続の関係についても解説しています。

※微分可能とは、微分ができるという意味です。(微分ができないときがあるから、この言葉が存在します。)


微分可能は、ふと思い出そうとした瞬間に覚えていないことが多いんですよね。

使う機会がほんと少ないし、インパクトが薄い。

微分可能とは、そんなものです。

本編行きましょう。

微分可能とは、”微分可能ではない”とき以外のこと

微分可能を説明するために、微分不可能(微分できないとき)を説明します。


微分不可能になる条件は3つあります。

  • 接線が2本以上引けてしまう。
  • 接線がy軸に平行である。
  • 連続になっておらず、そもそも接線がない。

どれか1つでも当てはまっていれば微分不可能になります。

接線が2本以上引けてしまう例↓

接線が2つ以上ある例

接線がy軸に平行である例↓

接線がy軸に平行な例

接線という概念がない例↓

接線がない例


したがって、逆に、これら以外の場合は微分可能になります。


微分可能の定義

関数$\,y=f(x)\,$の$\,x=a\,$における微分$\,f'(a)\,$は、
$$f'(a)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ とすることで求めることができますが、この極限が求められ、$f'(a)\,$が値を持っていれば、それを微分可能と言います。

これが微分可能の定義になります。

もともと微分$\,f'(a)\,$は、$x=a\,$での接線の傾きを求めるものです。

なので、前章の3つの例では、接線の傾きを求めることができないので微分不可能になるわけです。


1つ目の”接線が2本以上引けてしまう”のは、$f'(a)\,$で求められる接線の傾きの値は1つだけなので、それに反しています。よって、微分できません。

※$f'(a)\,$は定数を代入しているので必ず1つしか値が出てきません。(例えば$\,x^2+1\,$に$2$を代入したら$5$しか出てこないのと同じ)

2つ目の”接線がy軸に平行になる”のは、そもそも傾きがないので微分不可能になります。

3つ目の”途切れている(連続でない)場合”には、そもそも接線がよくわからないので接線の傾きを求める微分はもちろんできません。


微分可能と連続

微分可能と連続の関係について説明します。

内容としては、ここまでの説明のおさらいです。

“微分可能ならば連続”の証明

微分可能ならば連続であるが成り立ちます。

これに関しては簡単です。

最初に書きましたが、連続でない場合、微分不可能になります

つまり、微分可能な時点で連続でないといけないわけです。


とまあこれだけでいい気もしますが一応簡単に証明したいと思います。

$$f'(a)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\displaystyle\lim_{x→a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$となるので、微分可能であるから、$$\displaystyle\lim_{x→a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$$が成り立ちます。よって、$$\begin{align} \displaystyle\lim_{x→a}\left\{f(x)-f(a)\right\}&=\displaystyle\lim_{x→a}\left\{(x-a)\cdot \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\}\\ &=0\cdot f'(a)\\ &=0 \end{align}$$ となり、$\displaystyle\lim_{x→a}\left\{f(x)-f(a)\right\}=0\,$であることが求まりました。つまり、
$$\displaystyle\lim_{x→a}f(x)=f(a)$$ が成り立つと分かったので、関数$\,f(x)\,$が$\,x=a\,$で微分可能ならば、$x=a\,$で連続であると分かります。

“連続でも微分可能とは限らない”例

連続であっても微分可能とは限らないです。

接線が2つ以上ある例

上のは連続になっていますが微分可能ではありません

なぜなら$\,f'(0)\,$を求めることができないからです。

$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{h→+0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}&=\displaystyle\lim_{h→+0}\frac{h-0}{h}\\
&=\textcolor{red}{1}
\end{align}$$

$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{h→-0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}&=\displaystyle\lim_{h→-0}\frac{-h-0}{h}\\
&=\textcolor{red}{-1}
\end{align}$$

よって、一致しないので、$f'(0)\,$の値は存在しませんので、

つまり、関数$\,f(x)=|x|\,$は$\,x=0\,$で微分不可能になります。

忘れている人が多いと思いますので、$\displaystyle\lim\,$の計算について触れておきます。

例えば、$\displaystyle\lim_{x→a}g(x)=α\,$(関数$\,g(x)\,$の$x$を$a$に近づけると値が$α$になること)を求めたければ、
$$\begin{align}&\displaystyle\lim_{x→a\textcolor{blue}{+0}}g(x)=α\\&\displaystyle\lim_{x→a\textcolor{blue}{-0}}g(x)=α\end{align}$$の両方を求めなければいけません。
$x$を$a$に両側から近づけることを考え、初めて$\,\displaystyle\lim\,$として答えが出ます。


最後まで読んでいただきありがとうございます。

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