【微分】x^n/m [√x(x^1/2)、³√x(x^1/3)]の微分を導関数で求める

カジノ
(1)$lim$の簡単な使い方

(2)導関数の求め方
 $\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$
$$f(x)=x^n$$

なら、


$$f'(x)=nx^{n-1}$$

$f(x)=x^{\frac{1}{2}}\quad \left(\sqrt{2}\right)\quad $を微分する

$f(x)=\sqrt{x}$における導関数は、


$$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{(x+h)-x}$$


となり、これを計算して出た答えを求める。

分母分子に$\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$をかけて、$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$の形にして分子のルートを外す。


$$\begin{align}
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\
\end{align}$$


$\displaystyle\lim_{h→0}(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})=\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}$

が成り立つ。よって、

$$=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$


$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

もしくは、

$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
$$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

上の式の時に、

$$\displaystyle\lim_{h→0}(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})=\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}$$

こうすることができて計算できたのに対し、

$$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$$

一番最初の解き始めの式にも同じものが含まれているのに、同じように計算できない理由は、

$$\displaystyle\lim_{h→0}(\frac{\sqrt{x+h}}{h}-\frac{\sqrt{x}}{h})$$

最初の式はこのように変形すると、[無限—無限]になります。[無限—無限]は不定形と言われるものなので、この状態では$h→0$とすることはできない。

$f(x)=x^{\frac{1}{3}}\quad \left(\sqrt[3]{x}\right)\quad $を微分する

$f(x)=\sqrt[3]{x}$における導関数は、


$$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}{(x+h)-x}$$


となり、これを計算して出た答えを求める。

ルートを外すことを考えるので、分子の$\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}$に何かをかけることで、


$$(\sqrt[3]{x+h})^3-(\sqrt[3]{x})^3$$

$$=x+h-x$$


の形にする。よって、かけるものを考える。


$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$$


となるので、$a=\sqrt[3]{x+h}\quad,\quad b=\sqrt[3]{x}$とすると、


$$\begin{align}
&(\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x})(\textcolor{red}{\sqrt[3]{x+h}^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2})\\\\
&=(\sqrt[3]{x+h})^3-(\sqrt[3]{x})^3\\\\
&=h
\end{align}$$


分母分子に$\sqrt[3]{x+h}^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2$をかけて、$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$の形にして分子のルートを外す。


$$\begin{align}
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x+h}^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2)}{h(\sqrt[3]{x+h}^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2)}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt[3]{x+h}^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2)}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{(\sqrt[3]{x+h}^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2)}\\\\
\end{align}$$


$\displaystyle\lim_{h→0}(\sqrt[3]{x+h}^2+\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2)\\\\=\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2\\\\=3\sqrt[3]{x}^2$
が成り立つ。よって、

$$=\frac{1}{3\sqrt[3]{x}^2}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$$


$\frac{1}{3\sqrt[3]{x}^2}$

もしくは、

$\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$f(x)=x^{\frac{n}{m}}\quad \left(\sqrt[m]{x}^n\right)\quad $を微分する($\frac{n}{m}>0$)

$f(x)=x^\frac{n}{m}$における導関数は、


$$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^\frac{n}{m}-x^\frac{n}{m}}{(x+h)-x}$$


導関数を解くのに重要なのは、以下の一点のみ。

分子のルートを外すことを考える。

($x^{\frac{n}{m}}$の累乗の分母(この場合:m)がなくなればルートはなくなる。)


$$\left\{(x+h)^{\frac{n}{m}}-x^{\frac{n}{m}}\right\}\times\textcolor{red}{A}=(x+h)^{n}-x^{n}$$


このとき、Aは、


$$\textcolor{red}{A}=(x+h)^{(m-1)\frac{n}{m}}+x^{\frac{n}{m}}(x+h)^{(m-2)\frac{n}{m}}+\cdots x^{(m-1)\frac{n}{m}}$$


となる。

分母分子に上のAをかけて、分子のルートを外す。


$$\begin{align}
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h((x+h)^{(m-1)\frac{n}{m}}+x^{\frac{n}{m}}(x+h)^{(m-2)\frac{n}{m}}+\cdots x^{(m-1)\frac{n}{m}})}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\cdots+h^n-x^n}{h((x+h)^{(m-1)\frac{n}{m}}+x^{\frac{n}{m}}(x+h)^{(m-2)\frac{n}{m}}+\cdots x^{(m-1)\frac{n}{m}})}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{nx^{n-1}+\cdots+h^{n-1}}{((x+h)^{(m-1)\frac{n}{m}}+x^{\frac{n}{m}}(x+h)^{(m-2)\frac{n}{m}}+\cdots x^{(m-1)\frac{n}{m}})}\\\\
\end{align}$$


$\displaystyle\lim_{h→0}(nx^{n-1}+\cdots+h^{n-1})=nx^{n-1}$

$\displaystyle\lim_{h→0}((x+h)^{(m-1)\frac{n}{m}}+x^{\frac{n}{m}}(x+h)^{(m-2)\frac{n}{m}}+\cdots x^{(m-1)\frac{n}{m}})\\\\ =x^{(m-1)\frac{n}{m}}+x{\frac{n}{m}}x^{(m-2)\frac{n}{m}}+\cdots x^{(m-1)\frac{n}{m}}\\\\ =mx^{(m-1)\frac{n}{m}}$
が成り立つ。よって、

$$\begin{align}
&=\frac{nx^{n-1}}{mx^{(m-1)\frac{n}{m}}}\\\\
&=\frac{n}{m}x^{n-1-(m-1)\frac{n}{m}}\\\\
&=\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}
\end{align}$$


$\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}$

$f(x)=x^{\frac{n}{m}}\quad \left(\sqrt[m]{x}^n\right)\quad $を微分する($\frac{n}{m}<0$)

$\frac{n}{m}=-\frac{t}{s}$($\frac{t}{s}>0$)とします。

$f(x)=x^{-\frac{t}{s}}$の導関数は、


$$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\frac{1}{(x+h)^{\frac{t}{s}}}-\frac{1}{x^{\frac{t}{s}}}}{(x+h)-x}$$


分子の分数を通分して、計算する。


$$\begin{align}
&=\displaystyle\lim_{h→0} \frac{\frac{x^{\frac{t}{s}}-(x+h)^{\frac{t}{s}}}{x^{\frac{t}{s}}(x+h)^{\frac{t}{s}}}}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}-\frac{(x+h)^{\frac{t}{s}}-x^{\frac{t}{s}}}{h}\frac{1}{x^{\frac{t}{s}}(x+h)^{\frac{t}{s}}}\\\\
\end{align}$$


$\frac{(x+h)^{\frac{t}{s}}-x^{\frac{t}{s}}}{h}$は、$f(x)=x^\frac{n}{m}(\frac{n}{m}>0)$における導関数と同じになるので、上の式は、


$$=\displaystyle\lim_{h→0}-\frac{t}{s}x^{\frac{t}{s}-1}\frac{1}{x^{\frac{t}{s}}(x+h)^{\frac{t}{s}}}$$


$\displaystyle\lim_{h→0}x^{\frac{t}{s}}(x+h)^{\frac{t}{s}} \\\\=x^{\frac{t}{s}}+x^{\frac{t}{s}} \\\\=x^{\frac{t}{s}+\frac{t}{s}}$
となる。よって、

$$\begin{align}
&=\frac{-\frac{t}{s}x^{\frac{t}{s}-1}}{x^{\frac{t}{s}+\frac{t}{s}}}\\\\
&=-\frac{t}{s}x^{\frac{t}{s}-1-\frac{t}{s}-\frac{t}{s}}\\\\
&=-\frac{t}{s}x^{-\frac{t}{s}-1}
\end{align}$$


$-\frac{t}{s}=\frac{n}{m}$だったので、元に戻してあげると、


$$=\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}$$


$\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}$

となり、$\frac{n}{m}$が正でも負でも求め方は一緒であることが分かりました。

$$\begin{align} x^{\frac{1}{2}}\quad &→\quad \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\ x^{\frac{1}{3}}\quad &→\quad \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\\ x^{\frac{2}{3}}\quad &→\quad \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\\ x^{\frac{3}{2}}\quad &→\quad \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\\ x^{\frac{4}{3}}\quad &→\quad \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}\\ x^{-\frac{1}{2}}\quad &→\quad -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\ x^{-\frac{1}{3}}\quad &→\quad -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\\ x^{\frac{n}{m}}\quad &→\quad \frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}\\ \end{align}$$

まとめ

$\frac{n}{m}$のm、nは整数と考えて解いてきましたが、n=\frac{b}{a}として、導関数を解いたとします。

そうすると、$\frac{b}{a}x^{\frac{b}{a}-1}$となります。ここで、nを代入すると、最終的に、


$$nx^{n-1}$$


となるので、$x^n$の微分はすべて上の式で表すことになります。

$f(x)=x^n$の微分は、

$$nx^{n-1}$$

で解くことができる。

nが整数の場合はこちら。

【微分積分】x^nや1/x^2の微分、導関数の求め方と公式(微分の基礎)
$lim$の簡単な使い方a$$f(x)=x^n$$なら、$$f'(x)=nx^{n-1}$$nが正の値の場合$f(x)=x^3$を微分するまずは、具体例を用いて"$x^n$"の導...

最後まで読んでいただきありがとうございました。

ロゴ

コメント

タイトルとURLをコピーしました