【微分積分】x^nや1/x^2の微分、導関数の求め方と公式(微分の基礎)

数学
$lim$の簡単な使い方

a

$$f(x)=x^n$$

なら、


$$f'(x)=nx^{n-1}$$

nが正の値の場合

$f(x)=x^3$を微分する

まずは、具体例を用いて”$x^n$”の導関数を求め方の理解をしやすくします。

微小範囲における傾き(変化の割合)を求めます。

ただの変化の割合の求め方は、

これを”$x_1=x\quad ,\quad x_2=x+h$”として$h$は超小さくして計算します。このとき、$lim$を使用して計算しています。

3乗に入れて解く

$f(x)=x^3$として解きます。


$$\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$$


3乗の部分を展開して、$lim$を計算していきます。


$\begin{align}
\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}(3x^2+3xh+h^2)
\end{align}$


$\displaystyle\lim_{h→0}3xh=0 \quad,\quad \displaystyle\lim_{h→0}h^2=0$

が成り立つ。

xは定数なので、限りなく0に近い数字とかけ算すれば、ほぼ0になる。

また、$3x^2$は$h$が含まれていないので、$h$の値をどうしようが$3x^2$になる。よって、

$$\begin{align}
&=\displaystyle\lim_{h→0}3x^2\\\\
&=3x^2
\end{align}$$


$x^3$を微分すると、$3x^2$

$f(x)=x^n$を微分する(n>0)

$f(x)=x^n$として導関数を3乗の時と同じように解きます。


$
\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}
$


$(x+h)^n$を展開する方法ですが、

もっと詳しくはこちら

【超わかる】【図あり】二項定理の係数を求める問題をわかりやすく説明
${}_nC_m$ 組み合わせ組み合わせ(C)と順列(P)について誰でも分かるようまとめています。「確率や場合の数を求める問題はたった1つのことを意識すればすべて解ける。」といった内容になっています。...

よって、元の式に戻って説明します。(aは適当な定数)


$$\begin{align}
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x^n+nx^{(n-1)}h+ax^{(n-2)}h^2+\cdots+h^n)-x^n}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(nx^{(n-1)}h+ax^{(n-2)}h^2+\cdots+h^n)}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}(nx^{(n-1)}+ax^{(n-2)}h+\cdots+h^{(n-1)})\\\\
&=nx^{(n-1)}
\end{align}$$


$x^n$を微分すると、$nx^{(n-1)}$
$$\begin{align} x\quad &→\quad 1\\ x^2\quad &→\quad 2x\\ x^3\quad &→\quad 3x^2\\ x^4\quad &→\quad 4x^3\\ x^5\quad &→\quad 5x^4\\ x^{10}\quad &→\quad 10x^9\\ x^{100}\quad &→\quad 100x^{99}\\ x^n\quad &→\quad nx^{(n-1)}\\ \end{align}$$

nが負の値の場合

$f(x)=x^{-2}\quad\left(\frac{1}{x^2}\right)\quad$を微分する

$f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$として、上の2つの場合と同様に導関数を求めていきます。


$
\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h}
$


上の部分の分数を通分して、展開して計算します。


$$\begin{align}
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\frac{x^2-(x+h)^2}{x^2(x+h)^2}}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\frac{-2xh-h^2}{x^2(x+h)^2}}{h}
\end{align}$$


$h$で約分して、分母を計算します。


$$\begin{align}
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{-2x-h}{x^2(x+h)^2}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{-2x-h}{x^4+2x^3h+x^2h^2}
\end{align}$$


$\displaystyle\lim_{h→0}(x^4+2x^3h+x^2h^2)=x^4\\\\ \displaystyle\lim_{h→0}(-2x-h)=-2x$

が成り立つ。よって、

$$\begin{align}
&=\frac{-2x}{x^4}\\\\
&=\frac{-2}{x^3}=-2x^{-3}
\end{align}$$


導関数を最後まで求めることができました。答えの書き方は2つあり、分数で表すか、累乗のところをマイナスで表すかです。

どちらがいいかと言えば、場合によって使い分けるのがいいのですが、累乗をマイナスにして表す方がいいです。なぜかは後で説明します。

$x^{-2}$を微分すると、$-2x^{-3}$

もしくは、

$\frac{1}{x^2}$を微分すると、$\frac{-2}{x^3}$

$f(x)=x^{-m}$を微分する(m>0)

$f(x)=x^{-m}$として導関数を-2乗の時と同じように解きます。(aは適当な定数)


$\begin{align}
\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\frac{x^m-(x+h)^m}{x^m(x+h)^m}}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\frac{-mx^{m-1}h-ax^{m-2}h^2-\cdots-h^m}{x^{m+m}+mx^{m+(m-1)}h+\cdots+x^mh^m}}{h}\\\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{-mx^{m-1}-ax^{m-2}h-\cdots-h^{m-1}}{x^{2m}+mx^{2m-1}h+\cdots+x^mh^m}
\end{align}$


$\displaystyle\lim_{h→0}(-mx^{m-1}-ax^{m-2}h-\cdots-h^{m-1})=-mx^{m-1}\\\\ \displaystyle\lim_{h→0}(x^{2m}+mx^{2m-1}h+\cdots+x^mh^m)=x^{2m}$
が成り立つ。よって、

$$\begin{align}
&=\frac{-mx^{m-1}}{x^{2m}}\\\\
&=\frac{-m}{x^{m+1}}=-mx^{-m-1}
\end{align}$$


$x^{-m}$を微分すると、$-mx^{-m-1}$

もしくは、

$\frac{1}{x^m}$を微分すると、$\frac{-m}{x^{m+1}}$
$$\begin{align} x^{-1}\quad &→\quad -x^{-2}\\ x^{-2}\quad &→\quad -2x^{-3}\\ x^{-3}\quad &→\quad -3x^{-4}\\ x^{-4}\quad &→\quad -4x^{-5}\\ x^{-5}\quad &→\quad -5x^{-6}\\ x^{-10}\quad &→\quad -10x^{-11}\\ x^{-100}\quad &→\quad -100x^{-101}\\ x^{-m}\quad &→\quad -mx^{-m-1}\\ \end{align}$$

ここで、-m=n(n<0)とすると、

$$f(x)=x^{-m}=x^n$$

の微分は、

$$f'(x)=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}$$

となりますが、これは、nが正の値の場合と同じ式になります。

よって、nが正でも負でも、

$$f'(x)=nx^{n-1}$$

同じこの式で求めることができます。

なので、分数で表すよりも累乗をマイナスにして表す方が解きやすくなります。

練習問題

$f(x)=\frac{1}{x^4}$の導関数を求めよ。微分せよ。
$$\frac{1}{x^4}=x^{-4}$$

公式($x^n→nx^{n-1})を使用して、 $$f'(x)=-4x^{-5}$$
$-4x^{-5}$ もしくは $-\frac{4}{x^5}$
   
$f(x)=x^3+x^2$の導関数を求めよ。微分せよ。
$$\begin{align} f'(x)&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^3+(x+h)^2-(x^3+x^2)}{h}\\\\ &=\displaystyle\lim_{h→0}(3x^2+3xh+h^2+2x+h)\\\\ &=3x^2+2x \end{align}$$
$3x^2+2x$
   

まとめ

$f(x)=x^n$

を微分すると、

$f'(x)=nx^{n-1}$

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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